Considere
dada por
.
(b)
é sobrejetora?
é injetora? Calcule
.
(b)
Passo 1
Vamos resolver um problema sobre transformações lineares. O enunciado nos pede para analisar se a transformação
, definida por
, é sobrejetora e injetora. Além disso, precisamos calcular a dimensão do núcleo de
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, sobrejetividade, injetividade e núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser sobrejetora e injetora.
- Sobrejetora: Uma transformação
é sobrejetora se todo vetor no contradomínio é imagem de pelo menos um vetor no domínio . - Injetora: Uma transformação
é injetora se vetores diferentes no domínio têm imagens diferentes no contradomínio, ou seja, se implica .
Também precisamos calcular o núcleo de
, que é o conjunto de todos os polinômios
em
tais que
.
Passo 3
Vamos verificar se
é sobrejetora. Para isso, precisamos ver se, para qualquer vetor
em
, existe um polinômio
em
tal que
.
Observamos que
. Notamos que o primeiro e o terceiro componentes são iguais, ou seja,
. Portanto, para
existir, é necessário que
.
Isso significa que nem todo vetor em
pode ser atingido por
, pois existe a condição
que deve ser satisfeita. Assim,
não é sobrejetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é injetora. Para isso, assumimos que
e queremos mostrar que isso implica
.
Se
, então:
Isso implica que:
Como
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, um polinômio
pode ser escrito como
. Sabemos que
e
. Então, se
e
, podemos ter múltiplos polinômios que satisfazem essas condições, mas que são diferentes entre si. Portanto,
não é injetora.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a dimensão do núcleo de
, ou seja,
.
O núcleo de
é o conjunto de polinômios
tais que:
Isso implica que:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto, os polinômios no núcleo de
têm a forma:
Podemos fatorar
:
Isso mostra que o núcleo de
é gerado pelo polinômio
, que é um subespaço de dimensão 1. Assim,
.
Resposta
A transformação
não é sobrejetora nem injetora, e a dimensão do núcleo de
é 1.