Considere T: mathscrP2 R^3 dada por p(t) mapsto(p(1), p(0), p(1)).
(b) T é sobrejetora? T é injetora? Calcule dim(ker(T)).

Passo 1

Vamos resolver um problema sobre transformações lineares. O enunciado nos pede para analisar se a transformação , definida por , é sobrejetora e injetora. Além disso, precisamos calcular a dimensão do núcleo de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, sobrejetividade, injetividade e núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser sobrejetora e injetora.
  • Sobrejetora: Uma transformação é sobrejetora se todo vetor no contradomínio é imagem de pelo menos um vetor no domínio .
  • Injetora: Uma transformação é injetora se vetores diferentes no domínio têm imagens diferentes no contradomínio, ou seja, se implica .
Também precisamos calcular o núcleo de , que é o conjunto de todos os polinômios em tais que .

Passo 3

Vamos verificar se é sobrejetora. Para isso, precisamos ver se, para qualquer vetor em , existe um polinômio em tal que .
Observamos que . Notamos que o primeiro e o terceiro componentes são iguais, ou seja, . Portanto, para existir, é necessário que .
Isso significa que nem todo vetor em pode ser atingido por , pois existe a condição que deve ser satisfeita. Assim, não é sobrejetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se (p(1), p(0), p(1)) = (q(1), q(0), q(1)) é injetora. Para isso, assumimos que p(1) = q(1) e p(0) = q(0) e queremos mostrar que isso implica .
Se , então:
Isso implica que:
Como é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, um polinômio pode ser escrito como . Sabemos que e . Então, se e , podemos ter múltiplos polinômios que satisfazem essas condições, mas que são diferentes entre si. Portanto, não é injetora.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a dimensão do núcleo de T(p) = (p(1), p(0), p(1)) = (0, 0, 0) , ou seja, p(1) = a + b + c = 0 e p(0) = c = 0 .
O núcleo de a + b = 0 implies b = -a é o conjunto de polinômios p(t) = at^2 - at tais que:
p(t) = a(t^2 - t)
Isso implica que:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, os polinômios no núcleo de têm a forma:
Podemos fatorar :
Isso mostra que o núcleo de é gerado pelo polinômio , que é um subespaço de dimensão 1. Assim, .

Resposta

A transformação não é sobrejetora nem injetora, e a dimensão do núcleo de é 1.

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