Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares:
d) T: R^2 R^2, T(x, y)=(y,-x)

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para encontrar os valores próprios e os vetores próprios da transformação linear , definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como encontrar os autovalores (valores próprios) e os autovetores (vetores próprios) de uma matriz que representa a transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação A = 0 & 1 -1 & 0 como uma matriz. A transformação corresponde à matriz:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores próprios dessa matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.

Passo 4

Calculando A - lambda I = 0 - lambda & 1 -1 & 0 - lambda = -lambda & 1 -1 & -lambda :

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (1)(-1) = lambda^2 + 1

Passo 6

Agora, resolvemos a equação característica:
lambda^2 + 1 = 0 Rightarrow lambda^2 = -1 Rightarrow lambda = pm i
Então, os valores próprios são e .

Passo 7

Com os valores próprios encontrados, vamos achar os vetores próprios correspondentes a cada -i & 1 -1 & -i x y = 0 0 .
Para -ix + y = 0 Rightarrow y = ix :
Resolvemos 1 i :
i & 1 -1 & i x y = 0 0
Isso resulta no sistema:
ix + y = 0 Rightarrow y = -ix
Então, um vetor próprio correspondente é 1 -i .
Para :
Resolvemos :
Isso resulta no sistema:
Então, um vetor próprio correspondente é .

Resposta

Os valores próprios são 1 i e 1 -i , e os vetores próprios correspondentes são e , respectivamente.

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