Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares:
d)
d)
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para encontrar os valores próprios e os vetores próprios da transformação linear
, definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como encontrar os autovalores (valores próprios) e os autovetores (vetores próprios) de uma matriz que representa a transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação
como uma matriz. A transformação
corresponde à matriz:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores próprios dessa matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica:
onde
é a matriz identidade e
representa os valores próprios.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação característica:
Então, os valores próprios são
e
.
Passo 7
Com os valores próprios encontrados, vamos achar os vetores próprios correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso resulta no sistema:
Então, um vetor próprio correspondente é
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso resulta no sistema:
Então, um vetor próprio correspondente é
.
Resposta
Os valores próprios são
e
, e os vetores próprios correspondentes são
e
, respectivamente.