Considere o subespaço W de \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores v_{1}=(2,1,3), v_{2}=(3,-1,4) e v_{3}=(2,6,4).
a) O vetor v=(3,4,5) pertence a W ? Justifique.
b) Exiba uma base para W. Qual é a dimensão de W ?
c) \left[v_{1}, v_{2}, v_{3}\right]=\mathbb{R}^{3} ? Por quê?
Passo 1
O enunciado define o subespaço
W = \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3},
e pede:
a) verificar se v=(3,4,5) pertence a W;
b) exibir uma base de W e sua dimensão;
c) dizer se \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\mathbb{R}^3 e por quê.
Para isso vamos usar métodos de combinação linear e dependência linear em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Para a parte (a) buscamos escalares c_{1},c_{2},c_{3}\) tais que
\[c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=(3,4,5).
Ao tentar resolver vemos que podemos escolher (c_{3}=0] e resolver \begin{cases} 2c_{1}+3c_{2}=3,\\\ c_{1}-c_{2}=4,\\\\ 3c_{1}+4c_{2}=5, \end{cases}
que é compatível.
Passo 3
Da segunda equação c_{1}-c_{2}=4 vem c_{1}=4+c_{2}. Substituindo na primeira:
bate com o lado direito. Portanto existe solução (c_{1},c_{2},c_{3})=(3,-1,0).
Passo 4
Como encontramos escalares que reproduzem v, concluímos que
v=(3,4,5)\in W.
Passo 5
Para a parte (b) examinamos dependência de \{v_{1},v_{2},v_{3}\}. Já vemos que v_{3} pode ser expresso como combinação de v_{1},v_{2}? De fato, resolvendo
Logo v_{3} é dependente de v_{1},v_{2}, e \{v_{1},v_{2}\} é um sistema gerador livre de W.
Assim uma base de W é
\{\,v_{1},v_{2}\}
e
\dim(W)=2.
Passo 6
Para a parte (c), \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=W tem dimensão 2, mas \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3. Como um subespaço de dimensão 2 não pode coincidir com o todo \mathbb{R}^{3}, concluímos que
a) Sim, v=(3,4,5)\in W pois v=3v_{1}-1v_{2}+0v_{3}.
b) Uma base é \{v_{1},v_{2}\} e \dim(W)=2.
c) Não, pois \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} tem dimensão 2<3.