Seja
o espaço das funções com derivada de segunda ordem contínua em
. Considere o subespaço
de
. Mostre que todo elemento do subespaço vetorial
pertence a
.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço das funções com derivada de segunda ordem contínua em
e
Também temos o subespaço gerado por
A tarefa é mostrar que todo
satisfaz
, ou seja,
.
Passo 2
Verificamos primeiro para a função constante
.
Como
Como
temos
logo
.
Passo 3
Agora para
.
Calculamos
Calculamos
de onde
portanto
.
Passo 4
Como
é subespaço vetorial, o operador linear
satisfaz
Isto mostra que qualquer combinação linear
verifica
.
Resposta
Todo elemento de
pertence a
, ou seja,
.