Considere o subespaço W de \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores v_{1}=(2,1,3), v_{2}=(3,-1,4) e v_{3}=(2,6,4).
a) O vetor v=(3,4,5) pertence a W ? Justifique.
b) Exiba uma base para W. Qual é a dimensão de W ?
c) \left[v_{1}, v_{2}, v_{3}\right]=\mathbb{R}^{3} ? Por quê?

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3},
com
v_{1}=(2,1,3),\quad v_{2}=(3,-1,4),\quad v_{3}=(2,6,4),
e pede:
a) verificar se v=(3,4,5) pertence a W;
b) exibir uma base de W e sua dimensão;
c) dizer se \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\mathbb{R}^3 e por quê.
Para isso vamos usar métodos de combinação linear e dependência linear em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para a parte (a) buscamos escalares c_{1},c_{2},c_{3}\) tais que \[c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=(3,4,5).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2c_{1}+3c_{2}+2c_{3}=3,\\\ c_{1}-c_{2}+6c_{3}=4,\\\\ 3c_{1}+4c_{2}+4c_{3}=5. \end{cases}
Ao tentar resolver vemos que podemos escolher (c_{3}=0] e resolver
\begin{cases} 2c_{1}+3c_{2}=3,\\\ c_{1}-c_{2}=4,\\\\ 3c_{1}+4c_{2}=5, \end{cases}
que é compatível.

Passo 3

Da segunda equação c_{1}-c_{2}=4 vem c_{1}=4+c_{2}. Substituindo na primeira:
2(4+c_{2})+3c_{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad 8+5c_{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad c_{2}=-1,
logo c_{1}=4-1=3. Verificando na terceira:
3\cdot3+4\cdot(-1)=9-4=5,
bate com o lado direito. Portanto existe solução (c_{1},c_{2},c_{3})=(3,-1,0).

Passo 4

Como encontramos escalares que reproduzem v, concluímos que
v=(3,4,5)\in W.

Passo 5

Para a parte (b) examinamos dependência de \{v_{1},v_{2},v_{3}\}. Já vemos que v_{3} pode ser expresso como combinação de v_{1},v_{2}? De fato, resolvendo
a\,v_{1}+b\,v_{2}=v_{3}
obtemos
a=4,\quad b=-2,
pois
4(2,1,3)+(-2)(3,-1,4)=(8-6,\;4+2,\;12-8)=(2,6,4)=v_{3}.
Logo v_{3} é dependente de v_{1},v_{2}, e \{v_{1},v_{2}\} é um sistema gerador livre de W.
Assim uma base de W é
\{\,v_{1},v_{2}\}
e
\dim(W)=2.

Passo 6

Para a parte (c), \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=W tem dimensão 2, mas \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3. Como um subespaço de dimensão 2 não pode coincidir com o todo \mathbb{R}^{3}, concluímos que
\mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}\neq\mathbb{R}^{3}.

Resposta

a) Sim, v=(3,4,5)\in W pois v=3v_{1}-1v_{2}+0v_{3}.
b) Uma base é \{v_{1},v_{2}\} e \dim(W)=2.
c) Não, pois \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} tem dimensão 2<3.

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