Seja \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}) o espaço vetorial das funções que possuem derivadas de todas as ordens contínuas. Prove que \left\{1, e^{x}, e^{2 x}\right\} é um conjunto linearmente independente em \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}). (Sugestão: faça uma combinação linear nula dessas funcões, derive duas vezes essa combinação para criar um sistema linear 3 \times 3 com os coeficientes da combinação inicialmente feita).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto \{1,e^{x},e^{2x}\} é linearmente independente em \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}). Isto significa que, se tivermos uma combinação linear nula válida para todo x\in\mathbb{R}, então todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero. Vamos usar derivadas para obter um sistema de três equações lineares em três incógnitas.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que, para todo x\in\mathbb{R},
f(x)=a\cdot1 + b\,e^{x} + c\,e^{2x} = 0.
Aqui f é a combinação linear. Nosso objetivo é mostrar a=b=c=0.

Passo 3

Como f(x)=0 para todo x, então também suas derivadas de primeira e segunda ordem são identicamente nulas. Calculamos:
f'(x)=b\,e^{x} + 2c\,e^{2x},
f''(x)=b\,e^{x} + 4c\,e^{2x}.

Passo 4

Agora, para obter um sistema algébrico, basta avaliar f,f',f'' em um ponto específico, por exemplo x=0. Isso nos dá:
f(0)=a + b + c = 0,
f'(0)=b + 2c = 0,
f''(0)=b + 4c = 0.

Passo 5

Das duas últimas equações subtraímos
(f''(0)) - (f'(0)) \implies (b + 4c) - (b + 2c) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2c = 0 \quad\Longrightarrow\quad c = 0.
Substituindo c=0 em f'(0)=0 obtemos b=0. E, por fim, em f(0)=0 vem a=0.

Resposta

Como a=b=c=0 é a única solução da combinação nula, concluímos que \{1,e^{x},e^{2x}\} é linearmente independente em \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}).

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