(a) Determine uma base \beta para U e diga qual é a dimensão de U.
(b) Determine uma base \delta para W e diga qual é a dimensão de W.
(c) Encontre equações para W.
(d) Determine uma base \lambda para U \cap W e diga qual é a dimensão de U \cap W.
(e) Determine uma base \alpha para U+W e diga qual é a dimensão de U+W.
Passo 1
O enunciado trata de subespaços de \mathbb{R}^6. Primeiro, U é dado por quatro equações lineares homogêneas em seis variáveis, então vamos achar uma base do seu espaço solução (núcleo da matriz dos coeficientes). Depois, W é gerado por quatro vetores em \mathbb{R}^6, então vamos verificar quais são linearmente independentes para extrair uma base de W. A seguir precisamos obter duas equações que definem W (isto é, achar W^\perp), depois determinar U\cap W resolvendo simultaneamente os sistemas de U e de W, e finalmente usar a fórmula de dimensão e selecionar vetores independentes para a soma U+W.
Passo 2
Vamos resolver o sistema de U\):
\[\begin{cases} x_{1}+x_{3}+x_{5}=0,\\\ x_{2}+x_{4}+x_{6}=0,\\\ x_{1}-x_{4}+2x_{5}=0,\\\\ 2x_{1}+x_{2}+x_{3}+3x_{5}+x_{6}=0. \end{cases}
Fazendo eliminação de Gauss e tomando como variáveis livres x_{4}=t,\;x_{5}=u,\;x_{6}=v\], obtemos
\[\begin{aligned} x_{1}&=t-2u,\\\ x_{2}&=-t-v,\\\ x_{3}&=-t+u,\\\ x_{4}&=t,\quad x_{5}=u,\quad x_{6}=v. \end{aligned}\]
Portanto
\[(x_{1},\dots,x_{6}) =t\,(1,-1,-1,1,0,0) +u\,(-2,0,1,0,1,0) +v\,(0,-1,0,0,0,1).\]
Uma base \(\beta de U é