Considere os subespaços do \mathbb{R}^{6}, W=\langle(0,1,1,1,1,1),(1,1,2,0,0,0),(0,0,1,2,4,3),(3,5,7,2,2,2), ( e
U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}\right) \in \mathbb{R}^{6} \left\lvert\, \begin{array}{l} x_{1}+x_{3}+x_{5}=0, \\\ x_{2}+x_{4}+x_{6}=0, \\\ x_{1}-x_{4}+2 x_{5}=0, \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+3 x_{5}+x_{6}=0 \end{array}\right.\right\} .
(a) Determine uma base \beta para U e diga qual é a dimensão de U.
(b) Determine uma base \delta para W e diga qual é a dimensão de W.
(c) Encontre equações para W.
(d) Determine uma base \lambda para U \cap W e diga qual é a dimensão de U \cap W.
(e) Determine uma base \alpha para U+W e diga qual é a dimensão de U+W.

Passo 1

O enunciado trata de subespaços de \mathbb{R}^6. Primeiro, U é dado por quatro equações lineares homogêneas em seis variáveis, então vamos achar uma base do seu espaço solução (núcleo da matriz dos coeficientes). Depois, W é gerado por quatro vetores em \mathbb{R}^6, então vamos verificar quais são linearmente independentes para extrair uma base de W. A seguir precisamos obter duas equações que definem W (isto é, achar W^\perp), depois determinar U\cap W resolvendo simultaneamente os sistemas de U e de W, e finalmente usar a fórmula de dimensão e selecionar vetores independentes para a soma U+W.

Passo 2

Vamos resolver o sistema de U\): \[\begin{cases} x_{1}+x_{3}+x_{5}=0,\\\ x_{2}+x_{4}+x_{6}=0,\\\ x_{1}-x_{4}+2x_{5}=0,\\\\ 2x_{1}+x_{2}+x_{3}+3x_{5}+x_{6}=0. \end{cases}
Fazendo eliminação de Gauss e tomando como variáveis livres x_{4}=t,\;x_{5}=u,\;x_{6}=v\], obtemos \[\begin{aligned} x_{1}&=t-2u,\\\ x_{2}&=-t-v,\\\ x_{3}&=-t+u,\\\ x_{4}&=t,\quad x_{5}=u,\quad x_{6}=v. \end{aligned}\] Portanto \[(x_{1},\dots,x_{6}) =t\,(1,-1,-1,1,0,0) +u\,(-2,0,1,0,1,0) +v\,(0,-1,0,0,0,1).\] Uma base \(\beta de U é
\beta=\bigl\{(1,-1,-1,1,0,0),\,(-2,0,1,0,1,0),\,(0,-1,0,0,0,1)\bigr\},
e \dim U=3.

Passo 3

Os geradores de W são
w_{1}=(0,1,1,1,1,1),\; w_{2}=(1,1,2,0,0,0),\; w_{3}=(0,0,1,2,4,3),\; w_{4}=(3,5,7,2,2,2).
Montando a matriz com essas linhas e fazendo eliminação, encontra-se posto 4, logo todos são independentes. Assim
\delta=\{\,w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\}
é uma base de W e \dim W=4.

Passo 4

Para achar equações de W basta encontrar W^\perp, i.e.\ resolver
\begin{pmatrix} 0&1&1&1&1&1\\\\ 1&1&2&0&0&0\\\\ 0&0&1&2&4&3\\\\ 3&5&7&2&2&2 \end{pmatrix} \mathbf{x}=0.
Após eliminação chega-se a um espaço solução de dimensão 2, gerado por
v_{1}=(-1,1,0,-2,1,0), \quad v_{2}=(-1,1,0,-3,0,2).
Logo as duas equações lineares independentes que definem W são
\begin{cases} (-1,1,0,-2,1,0)\cdot(x_{1},\dots,x_{6})=0,\\\ (-1,1,0,-3,0,2)\cdot(x_{1},\dots,x_{6})=0, \end{cases}
ou, escrevendo de forma mais usual,
\begin{cases} -x_{1}+x_{2}-2x_{4}+x_{5}=0,\\\\ -x_{1}+x_{2}-3x_{4}+2x_{6}=0. \end{cases}

Passo 5

Para U\cap W resolvemos conjuntamente as quatro equações de U e as duas de W. Fazendo eliminação, resta um grau de liberdade t, e obtemos
(x_{1},\dots,x_{6}) =\tfrac{t}{7}\,(-13,-12,4,5,9,7).
Assim
\lambda=\{\,(-13,-12,4,5,9,7)\}
é uma base de U\cap W e \dim(U\cap W)=1.

Passo 6

Finalmente, pela fórmula de Grassmann,
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=3+4-1=6.
Isso mostra que U+W=\mathbb{R}^6. Uma base \alpha para U+W pode ser, por exemplo, a base canônica
\alpha=\{\,e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6}\}.

Resposta

(a) \beta=\{(1,-1,-1,1,0,0),\,(-2,0,1,0,1,0),\,(0,-1,0,0,0,1)\}\), \(\dim U=3\). (b) \(\delta=\{w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\}\) com \(w_{i}\) os vetores dados, \(\dim W=4\). \text{(c)} \[\begin{cases} -x_{1}+x_{2}-2x_{4}+x_{5}=0,\\\\ -x_{1}+x_{2}-3x_{4}+2x_{6}=0. \end{cases}
(d) \lambda=\{(-13,-12,4,5,9,7)\}\], \(\dim(U\cap W)=1.
(e) \alpha=\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6}\}, \dim(U+W)=6.

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