Considere os subespaços do
,
e
(a) Determine uma base
para
e diga qual é a dimensão de
.
(b) Determine uma base
para
e diga qual é a dimensão de
.
(c) Encontre equações para
.
(d) Determine uma base
para
e diga qual é a dimensão de
.
(e) Determine uma base
para
e diga qual é a dimensão de
.
(b) Determine uma base
(c) Encontre equações para
(d) Determine uma base
(e) Determine uma base
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
e
e ; (b) achar uma base de
e
; (c) obter equações que definem
; (d) calcular
; (e) calcular
.
e
Passo 2
Analisando
, das duas equações lineares temos
Somando-as obtém-se
. Subtraindo a segunda da primeira dá
.
Logo os livres são e
, e um vetor genérico em
é
Logo os livres são
Portanto uma base de
é
e
.
Passo 3
Para
, verificamos dependência linear dos três geradores
,
,
.
Resolvendo achamos a relação
Resolvendo
ou seja
.
Logo é base de
e
.
Denotamos
Logo
Denotamos
Passo 4
Para achar equações de
notamos que
em
implica codimensão 2, logo duas equações lineares independentes.
Se então deve satisfazer
Se
Pode-se checar que ambos anulam
e
. Essas são as equações que definem
.
Passo 5
Para
De
. As primeiras duas reduzem-se a
cuja subtração dá
, então
e
.
Logo
Logo
portanto
e podemos escolher
Passo 6
A dimensão de
é
Para montar uma base de
tomamos a base de
,
, e acrescentamos um vetor de
que não esteja em
.
Dos geradores de ,
não pertence a
. Logo uma base é
Dos geradores de
e
.
Resposta
(a)
,
.
(b) ,
.
(c) é o conjunto de
que satisfaz
(b)
(c)
(d)
,
.
(e) ,
.
(e)