Considere os subespaços do \mathbb{R}^{4},
W=\{(1,0,-1,0),(1,1,1,1),(-1,1,3,1)\}
e
U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y+z+t=0 \text { e } x-y+z-t=0\right\} .
(a) Determine uma base \beta para U e diga qual é a dimensão de U.
(b) Determine uma base \delta para W e diga qual é a dimensão de W.
(c) Encontre equações para W.
(d) Determine uma base \lambda para U \cap W e diga qual é a dimensão de U \cap W.
(e) Determine uma base \alpha para U+W e diga qual é a dimensão de U+W.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \mathbb{R}^4\): \(U\) como o conjunto solução do sistema \[\begin{cases} x+y+z+t=0,\\\ x-y+z-t=0, \end{cases}
e
W=\operatorname{span}\{(1,0,-1,0),\,(1,1,1,1),\,(-1,1,3,1)\}.\] Vamos (a) achar uma base de \(U e \dim U; (b) achar uma base de W e \dim W; (c) obter equações que definem W; (d) calcular U\cap W; (e) calcular U+W.

Passo 2

Analisando U, das duas equações lineares temos
x+y+z+t=0 \quad\text{e}\quad x-y+z-t=0.
Somando-as obtém-se 2x+2z=0\implies x=-z. Subtraindo a segunda da primeira dá 2y+2t=0\implies y=-t.
Logo os livres são z e t, e um vetor genérico em U é
(x,y,z,t)=(-z,\,-t,\,z,\,t) =z(-1,0,1,0)+t(0,-1,0,1).
Portanto uma base de U é
\beta=\{(-1,0,1,0),\,(0,-1,0,1)\},
e \dim U=2.

Passo 3

Para W, verificamos dependência linear dos três geradores
(1,0,-1,0), (1,1,1,1), (-1,1,3,1).
Resolvendo a(1,0,-1,0)+b(1,1,1,1)+c(-1,1,3,1)=0 achamos a relação
2\,(1,0,-1,0)\;-\;(1,1,1,1)\;+\;1\cdot(-1,1,3,1)=0,
ou seja (-1,1,3,1)=-2(1,0,-1,0)+(1,1,1,1).
Logo \{(1,0,-1,0),\,(1,1,1,1)\} é base de W e \dim W=2.
Denotamos
\delta=\{(1,0,-1,0),\,(1,1,1,1)\}.

Passo 4

Para achar equações de W notamos que \dim W=2 em \mathbb{R}^4 implica codimensão 2, logo duas equações lineares independentes.
Se (x,y,z,t)\in W então deve satisfazer
y-t=0 \quad\text{e}\quad x+z-2y=0.
Pode-se checar que ambos anulam (1,0,-1,0) e (1,1,1,1). Essas são as equações que definem W.

Passo 5

Para U\cap W\) impomos simultaneamente as duas equações de \(U\) e as duas de \(W\): \[\begin{cases} x+y+z+t=0,\\\ x-y+z-t=0,\\\ y-t=0,\\\ x+z-2y=0. \end{cases}
De y-t=0\] segue \(t=y. As primeiras duas reduzem-se a
x+z+2y=0,\quad x+z-2y=0,
cuja subtração dá 4y=0\implies y=0, então t=0 e x+z=0\implies z=-x.
Logo
U\cap W=\{(x,0,-x,0)\}=\operatorname{span}\{(1,0,-1,0)\},
portanto \dim(U\cap W)=1 e podemos escolher
\lambda=\{(1,0,-1,0)\}.

Passo 6

A dimensão de U+W é
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=2+2-1=3.
Para montar uma base de U+W tomamos a base de W, \{(1,0,-1,0),\,(1,1,1,1)\}, e acrescentamos um vetor de U que não esteja em W.
Dos geradores de U, (0,-1,0,1) não pertence a W. Logo uma base é
\alpha=\{(1,0,-1,0),\,(1,1,1,1),\,(0,-1,0,1)\},
e \dim(U+W)=3.

Resposta

(a) \beta=\{(-1,0,1,0),\,(0,-1,0,1)\}, \dim U=2.
(b) \delta=\{(1,0,-1,0),\,(1,1,1,1)\}, \dim W=2.
(c) W é o conjunto de (x,y,z,t) que satisfaz
y-t=0, \quad x+z-2y=0.
(d) \lambda=\{(1,0,-1,0)\}, \dim(U\cap W)=1.
(e) \alpha=\{(1,0,-1,0),\,(1,1,1,1),\,(0,-1,0,1)\}, \dim(U+W)=3.

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