(a) Mostre que \beta=\{(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)\} é uma base do \mathbb{R}^{3}.
(b) Determine as coordenadas do vetor v=(5,4,2) em relação à base \beta.
(c) Determine o vetor w do \mathbb{R}^{3} cujo vetor coordenada em relação à base \beta é \left.w\right|_{\beta}=(2,-3,-4)^{t}.
(d) Determine as coordenadas dos vetores v_{1}=(3,2,1), v_{2}=(1,1,1) e v_{3}=(1,3,4) em relação à base \beta.
Passo 1
O enunciado trata de base e coordenadas em \mathbb{R}^3. Temos a família \beta=\{b_1=(1,2,3),\,b_2=(0,1,2),\,b_3=(0,0,1)\}. Para mostrar que \beta é base, precisamos ver que seus vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Depois, usamos essa base para calcular coordenadas de vários vetores.
Passo 2
Organizamos b_1,b_2,b_3 como colunas de uma matriz e calculamos o determinante:
Para v_1=(3,2,1): c_1=3, 2\cdot3+c_2=2\Rightarrow c_2=-4, c_3=1-3\cdot3-2\cdot(-4)=0.
Então (v_1)_\beta=(3,-4,0)^t.
Para v_2=(1,1,1): c_1=1, 2\cdot1+c_2=1\Rightarrow c_2=-1, c_3=1-3\cdot1-2\cdot(-1)=0.
Então (v_2)_\beta=(1,-1,0)^t.
Para v_3=(1,3,4): c_1=1, 2\cdot1+c_2=3\Rightarrow c_2=1, c_3=4-3\cdot1-2\cdot1=-1.
Então (v_3)_\beta=(1,1,-1)^t.
Resposta
(a) \beta é base porque \det B=1\neq0.
(b) (v)_\beta=(5,-6,-1)^t.
(c) w=(2,1,-4).
(d) (v_1)_\beta=(3,-4,0)^t,\quad (v_2)_\beta=(1,-1,0)^t,\quad (v_3)_\beta=(1,1,-1)^t.