(a) Mostre que \beta=\{(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)\} é uma base do \mathbb{R}^{3}.
(b) Determine as coordenadas do vetor v=(5,4,2) em relação à base \beta.
(c) Determine o vetor w do \mathbb{R}^{3} cujo vetor coordenada em relação à base \beta é \left.w\right|_{\beta}= (2,-3,-4)^{t}.
(d) Determine as coordenadas dos vetores v_{1}=(3,2,1), v_{2}=(1,1,1) e v_{3}=(1,3,4) em relação à base \beta.

Passo 1

O enunciado trata de base e coordenadas em \mathbb{R}^3. Temos a família
\beta=\{b_1=(1,2,3),\,b_2=(0,1,2),\,b_3=(0,0,1)\}. Para mostrar que \beta é base, precisamos ver que seus vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Depois, usamos essa base para calcular coordenadas de vários vetores.

Passo 2

Organizamos b_1,b_2,b_3 como colunas de uma matriz e calculamos o determinante:
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Como B é triangular superior,
\det(B)=1\cdot1\cdot1=1\neq0.
Logo, os vetores são linearmente independentes e, sendo três vetores em \mathbb{R}^3, formam base.

Passo 3

Queremos (v)_\beta=(c_1,c_2,c_3)^t\) tal que \[c_1(1,2,3)+c_2(0,1,2)+c_3(0,0,1)=(5,4,2).
Isso dá o sistema
\begin{cases} c_1 = 5,\\\\ 2c_1 + c_2 = 4,\\\\ 3c_1 + 2c_2 + c_3 = 2. \end{cases}
Substituindo c_1=5\] em \(2c_1+c_2=4 vem c_2=4-10=-6. Em seguida,
c_3 = 2 - 3\cdot5 -2\cdot(-6) = 2 -15 +12 = -1.
Logo,
(v)_\beta = (5,\,-6,\,-1)^t.

Passo 4

Dado \bigl(w\bigr)_\beta=(2,-3,-4)^t, escrevemos
w = 2b_1 -3b_2 -4b_3.
Calculando em coordenadas canônicas:
2(1,2,3) + (-3)(0,1,2) + (-4)(0,0,1) = (2,4,6) + (0,-3,-6) + (0,0,-4) = (2,1,-4).

Passo 5

Para cada v_i resolvemos
\sum c_j b_j = v_i.
  • Para v_1=(3,2,1):
    c_1=3, 2\cdot3+c_2=2\Rightarrow c_2=-4,
    c_3=1-3\cdot3-2\cdot(-4)=0.
    Então (v_1)_\beta=(3,-4,0)^t.
  • Para v_2=(1,1,1):
    c_1=1, 2\cdot1+c_2=1\Rightarrow c_2=-1,
    c_3=1-3\cdot1-2\cdot(-1)=0.
    Então (v_2)_\beta=(1,-1,0)^t.
  • Para v_3=(1,3,4):
    c_1=1, 2\cdot1+c_2=3\Rightarrow c_2=1,
    c_3=4-3\cdot1-2\cdot1=-1.
    Então (v_3)_\beta=(1,1,-1)^t.

Resposta

(a) \beta é base porque \det B=1\neq0.
(b) (v)_\beta=(5,-6,-1)^t.
(c) w=(2,1,-4).
(d) (v_1)_\beta=(3,-4,0)^t,\quad (v_2)_\beta=(1,-1,0)^t,\quad (v_3)_\beta=(1,1,-1)^t.

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