Considere os subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3} dados por, V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y+z=0\right\}, IV =\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=y=z\right\}.
(a) Descreva os subespaços V e W e determine suas dimensões. X
(b) Determine V \cap W e sua dimensão.
(c) Determine V+W e sua dimensāo.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^{3} e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e as perguntas.
Dados:
  • V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\}.
  • W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y=z\}. (Aqui interpretei o símbolo “IV” do enunciado como o subespaço W.)
Perguntas:
(a) Descrever os subespaços V e W e determinar suas dimensões.
(b) Determinar V\cap W e sua dimensão.
(c) Determinar V+W e sua dimensão.

Passo 2

Entender o que significa descrever um subespaço e achar sua dimensão. Vou começar com V.
Explicação didática rápida:
  • Um subespaço definido por uma equação linear homogênea (igual a zero) é um espaço linear (fecha sob soma e multiplicação por escalares) que passa pela origem.
  • A dimensão é o número mínimo de vetores linearmente independentes que geram (fazem o span de) o subespaço — ou seja, o número de vetores numa base.
Descrição e construção de uma base para V:
  • Um vetor genérico em V satisfaz x+y+z=0. Posso parametrizar escolhendo x e y livres e z determinado por z=-x-y.
  • Assim qualquer vetor de V tem a forma
(x,y,z)=(x,y,-x-y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1).
  • Logo V=\operatorname{span}\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}.
Verificação de independência:
  • Os vetores (1,0,-1) e (0,1,-1) não são múltiplos um do outro, então são linearmente independentes.
Conclusão para V:
  • V é um plano (subespaço de dimensão 2) passando pela origem.
  • Portanto \dim(V)=2.

Passo 3

Agora faço o mesmo para W.
Descrição e base para W:
  • A condição x=y=z significa que todo vetor em W é da forma (t,t,t) para algum t\in\mathbb{R}.
  • Escrevemos
W=\{t(1,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
Conclusão para W:
  • W é uma reta (subespaço de dimensão 1) que é a linha através da origem na direção (1,1,1).
  • Portanto \dim(W)=1.

Passo 4

Agora encontro V\cap W.
Raciocínio:
  • Um vetor em V\cap W deve ter a forma t(1,1,1) (porque está em W) e ao mesmo tempo satisfazer a equação x+y+z=0 (porque está em V).
  • Substituindo x=y=z=t na equação de V obtemos
t+t+t=0 \quad\Rightarrow\quad 3t=0 \quad\Rightarrow\quad t=0.
  • Logo o único vetor comum é t=0, isto é, o vetor nulo.
Conclusão:
  • V\cap W=\{(0,0,0)\}.
  • Como conjunto formado só pelo vetor zero, sua dimensão é \dim(V\cap W)=0.

Passo 5

Agora determino V+W e sua dimensão. Vou usar dois caminhos: fórmula de dimensão e uma construção explícita que mostra que V+W=\mathbb{R}^3.
Fórmula de dimensão:
  • Para subespaços V e W vale a fórmula
\dim(V+W)=\dim(V)+\dim(W)-\dim(V\cap W).
  • Substituindo os valores já encontrados:
\dim(V+W)=2+1-0=3.
Interpretação:
  • Como \mathbb{R}^3 tem dimensão 3, um subespaço de dimensão 3 é o próprio \mathbb{R}^3. Logo V+W=\mathbb{R}^3.
Construção explícita (útil na prova para mostrar que qualquer vetor de \mathbb{R}^3 pode ser escrito como soma de algo em V com algo em W):
  • Seja um vetor arbitrário (a,b,c)\in\mathbb{R}^3.
  • Defina
w=\frac{a+b+c}{3}\,(1,1,1)\in W.
  • Então calcule v=(a,b,c)-w. Verifico que v\in V porque a soma de suas coordenadas é
(a,b,c)\text{ coordenadas somadas } -\text{ soma de }w = (a+b+c)-\frac{a+b+c}{3}\cdot 3 = (a+b+c)-(a+b+c)=0.
  • Assim (a,b,c)=v+w com v\in V e w\in W, mostrando que qualquer vetor de \mathbb{R}^3 pertence a V+W.
Conclusões:
  • V+W=\mathbb{R}^3.
  • \dim(V+W)=3.
  • Observação extra: como V\cap W=\{0\} e \dim(V)+\dim(W)=3, na verdade \mathbb{R}^3 é soma direta de V e W, ou seja \mathbb{R}^3 = V\oplus W.

Resposta

(a) V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}=\operatorname{span}\{(1,0,-1),(0,1,-1)\},\; \dim(V)=2.\n(b) \(W=\{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\},\; \dim(W)=1.\n\text{(c)} \(V\cap W=\{(0,0,0)\},\; \dim(V\cap W)=0.\n(d) \(V+W=\mathbb{R}^3,\; \dim(V+W)=3.)

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