Considere os subespaços vetoriais de
dados por,
, IV
.
(a) Descreva os subespaços
e
e determine suas dimensões. X
(b) Determine
e sua dimensão.
(c) Determine
e sua dimensāo.
(a) Descreva os subespaços
(b) Determine
(c) Determine
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e as perguntas.
Dados:
-
. -
. (Aqui interpretei o símbolo “IV” do enunciado como o subespaço .)
Perguntas:
(a) Descrever os subespaços e
e determinar suas dimensões.
(b) Determinar e sua dimensão.
(c) Determinar e sua dimensão.
(a) Descrever os subespaços
(b) Determinar
(c) Determinar
Passo 2
Entender o que significa descrever um subespaço e achar sua dimensão. Vou começar com
.
Explicação didática rápida:
- Um subespaço definido por uma equação linear homogênea (igual a zero) é um espaço linear (fecha sob soma e multiplicação por escalares) que passa pela origem.
- A dimensão é o número mínimo de vetores linearmente independentes que geram (fazem o span de) o subespaço — ou seja, o número de vetores numa base.
Descrição e construção de uma base para
:
- Um vetor genérico em
satisfaz . Posso parametrizar escolhendo e livres e determinado por . - Assim qualquer vetor de
tem a forma
- Logo
.
Verificação de independência:
- Os vetores
e não são múltiplos um do outro, então são linearmente independentes.
Conclusão para
:
-
é um plano (subespaço de dimensão ) passando pela origem. - Portanto
.
Passo 3
Agora faço o mesmo para
.
Descrição e base para
:
- A condição
significa que todo vetor em é da forma para algum . - Escrevemos
Conclusão para
:
-
é uma reta (subespaço de dimensão ) que é a linha através da origem na direção . - Portanto
.
Passo 4
Agora encontro
.
Raciocínio:
- Um vetor em
deve ter a forma (porque está em ) e ao mesmo tempo satisfazer a equação (porque está em ). - Substituindo
na equação de obtemos
- Logo o único vetor comum é
, isto é, o vetor nulo.
Conclusão:
-
. - Como conjunto formado só pelo vetor zero, sua dimensão é
.
Passo 5
Agora determino
e sua dimensão. Vou usar dois caminhos: fórmula de dimensão e uma construção explícita que mostra que
.
Fórmula de dimensão:
- Para subespaços
e vale a fórmula
- Substituindo os valores já encontrados:
Interpretação:
- Como
tem dimensão , um subespaço de dimensão é o próprio . Logo .
Construção explícita (útil na prova para mostrar que qualquer vetor de
pode ser escrito como soma de algo em
com algo em
):
- Seja um vetor arbitrário
. - Defina
- Então calcule
. Verifico que porque a soma de suas coordenadas é
- Assim
com e , mostrando que qualquer vetor de pertence a .
Conclusões:
-
. -
. - Observação extra: como
e , na verdade é soma direta de e , ou seja .
Resposta
(a)
)