Verifique se a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & f_{1} \\\\ 0 & 6 & 0 \end{array}\right]
é invertível. Em caso positivo, calcule a sua inversa A^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar se a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & f_{1} \\\\ 0 & 6 & 0 \end{array}\right]
é invertível e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & f_{1}\\[4pt] 0 & 6 & 0 \end{pmatrix},
onde \,f_{1} é um parâmetro (número real desconhecido). Precisamos determinar para quais valores de \,f_{1} a matriz é invertível e, quando for, encontrar explicitamente a inversa.]

Passo 2

Conceito importante: uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Portanto, primeiro vamos calcular \det(A). Uma forma prática para calcular o determinante é expandir por uma coluna/linha que tenha zeros; aqui a terceira coluna tem dois zeros ( a_{13}=0 e a_{33}=0), então é conveniente expandir pela terceira coluna.
Recordando a regra de expansão por coluna: se \,a_{i3} é o elemento na linha i e coluna 3, então
\det(A)=\sum_{i=1}^{3} a_{i3}\,(-1)^{\,i+3}\,M_{i3},
onde M_{i3} é o determinante do menor que se obtém eliminando a linha i e a coluna 3.
Aplicando isso à nossa matriz:
  • a_{13}=0 contribui com zero.
  • a_{23}=f_{1} contribui com f_{1}\,(-1)^{2+3}\,M_{23}.
  • a_{33}=0 contribui com zero.
Então
\det(A)=f_{1}(-1)^{5}\,M_{23} = -f_{1}\,M_{23}.
Agora calculamos M_{23}: é o determinante da matriz que sobra ao eliminar a linha 2 e a coluna 3, ou seja
M_{23}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 6\end{pmatrix}=2\cdot 6 - 1\cdot 0 = 12.
Portanto
\det(A) = -f_{1}\cdot 12 = -12\,f_{1}.]

Passo 3

Interpretação do resultado do determinante: \det(A)=-12\,f_{1}. Logo
  • se \,f_{1}\neq 0, então \det(A)\neq 0 e A é invertível;
  • se \,f_{1}=0, então \det(A)=0 e A não é invertível.
Vou seguir adiante supondo \,f_{1}\neq 0 (caso invertível) para calcular A^{-1}.

Passo 4

Método para obter a inversa: fórmula clássica
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores). Para isso precisamos calcular os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor correspondente.
Vamos calcular todos os menores M_{ij} e os cofatores C_{ij} de forma organizada.
  • Para i=1,j=1: eliminar linha 1 coluna 1 deixa \begin{pmatrix}0 & f_{1}\\[4pt]6 & 0\end{pmatrix}, então
    M_{11}=0\cdot 0 - f_{1}\cdot 6 = -6\,f_{1},
    e
    C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=-6\,f_{1}.
  • Para i=1,j=2: eliminar linha 1 coluna 2 deixa \begin{pmatrix}1 & f_{1}\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, então
    M_{12}=1\cdot 0 - f_{1}\cdot 0 = 0,
    e
    C_{12}=(-1)^{3}M_{12}=0.
  • Para i=1,j=3: eliminar linha 1 coluna 3 deixa \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 6\end{pmatrix}, então
    M_{13}=1\cdot 6 - 0\cdot 0 = 6,
    e
    C_{13}=(-1)^{4}M_{13}=6.
  • Para i=2,j=1: eliminar linha 2 coluna 1 deixa \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]6 & 0\end{pmatrix}, então
    M_{21}=1\cdot 0 - 0\cdot 6 = 0,
    e
    C_{21}=(-1)^{3}M_{21}=0.
  • Para i=2,j=2: eliminar linha 2 coluna 2 deixa \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, então
    M_{22}=2\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0,
    e
    C_{22}=(-1)^{4}M_{22}=0.
  • Para i=2,j=3: eliminar linha 2 coluna 3 deixa \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 6\end{pmatrix}, então
    M_{23}=2\cdot 6 - 1\cdot 0 = 12,
    e
    C_{23}=(-1)^{5}M_{23}=-12.
  • Para i=3,j=1: eliminar linha 3 coluna 1 deixa \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & f_{1}\end{pmatrix}, então
    M_{31}=1\cdot f_{1} - 0\cdot 0 = f_{1},
    e
    C_{31}=(-1)^{4}M_{31}=f_{1}.
  • Para i=3,j=2: eliminar linha 3 coluna 2 deixa \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]1 & f_{1}\end{pmatrix}, então
    M_{32}=2\cdot f_{1} - 0\cdot 1 = 2\,f_{1},
    e
    C_{32}=(-1)^{5}M_{32}=-2\,f_{1}.
  • Para i=3,j=3: eliminar linha 3 coluna 3 deixa \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}, então
    M_{33}=2\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1,
    e
    C_{33}=(-1)^{6}M_{33}=-1.
Assim a matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\[4pt] C_{21} & C_{22} & C_{23}\\[4pt] C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\,f_{1} & 0 & 6\\[4pt] 0 & 0 & -12\\[4pt] f_{1} & -2\,f_{1} & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

A adjunta (matriz adj(A)) é a transposta da matriz dos cofatores. Portanto
\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} -6\,f_{1} & 0 & f_{1}\\[4pt] 0 & 0 & -2\,f_{1}\\[4pt] 6 & -12 & -1 \end{pmatrix}.
Como \det(A)=-12\,f_{1}, a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{-12\,f_{1}} \begin{pmatrix} -6\,f_{1} & 0 & f_{1}\\[4pt] 0 & 0 & -2\,f_{1}\\[4pt] 6 & -12 & -1 \end{pmatrix}.
Agora simplificamos cada entrada multiplicando por 1/(-12\,f_{1}). Fazendo as contas termo a termo (vou mostrar o cálculo de cada entrada para você poder reproduzir na prova sem calculadora):
  • Entrada (1,1): \displaystyle \frac{-6\,f_{1}}{-12\,f_{1}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.
  • Entrada (1,2): 0.
  • Entrada (1,3): \displaystyle \frac{f_{1}}{-12\,f_{1}}=-\frac{1}{12}.
  • Entrada (2,1): 0.
  • Entrada (2,2): 0.
  • Entrada (2,3): \displaystyle \frac{-2\,f_{1}}{-12\,f_{1}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.
  • Entrada (3,1): \displaystyle \frac{6}{-12\,f_{1}}=-\frac{6}{12\,f_{1}}=-\frac{1}{2\,f_{1}}.
  • Entrada (3,2): \displaystyle \frac{-12}{-12\,f_{1}}=\frac{1}{f_{1}}.
  • Entrada (3,3): \displaystyle \frac{-1}{-12\,f_{1}}=\frac{1}{12\,f_{1}}.
Portanto, para \,f_{1}\neq 0,
A^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{12}\\[6pt] 0 & 0 & \frac{1}{6}\\[6pt] -\dfrac{1}{2\,f_{1}} & \dfrac{1}{f_{1}} & \dfrac{1}{12\,f_{1}} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (checar multiplicação): uma boa prática é confirmar que A\cdot A^{-1}=I. Posso checar, por exemplo, a primeira coluna do produto:
  • A vezes primeira coluna de A^{-1} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[3pt] 1 & 0 & f_{1}\\[3pt] 0 & 6 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2}\\[3pt] 0\\[3pt] -\tfrac{1}{2\,f_{1}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot\tfrac{1}{2}+1\cdot 0 + 0\cdot(-\tfrac{1}{2\,f_{1}})\\[6pt] 1\cdot\tfrac{1}{2}+0\cdot 0 + f_{1}\cdot(-\tfrac{1}{2\,f_{1}})\\[6pt] 0\cdot\tfrac{1}{2}+6\cdot 0 + 0\cdot(-\tfrac{1}{2\,f_{1}}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[4pt] \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
o que confere com a primeira coluna da identidade. Procedimentos semelhantes confirmam as demais colunas (o cálculo completo é análogo), então a inversa encontrada está correta quando \,f_{1}\neq 0.]

Resposta

A é invertível se, e somente se, \,f_{1}\neq 0.
A^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{12}\\[8pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{6}\\[8pt] -\dfrac{1}{2\,f_{1}} & \dfrac{1}{f_{1}} & \dfrac{1}{12\,f_{1}} \end{pmatrix},\quad \text{para }\,f_{1}\neq 0.

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