onde \,f_{1} é um parâmetro (número real desconhecido). Precisamos determinar para quais valores de \,f_{1} a matriz é invertível e, quando for, encontrar explicitamente a inversa.]
Passo 2
Conceito importante: uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Portanto, primeiro vamos calcular \det(A). Uma forma prática para calcular o determinante é expandir por uma coluna/linha que tenha zeros; aqui a terceira coluna tem dois zeros (a_{13}=0 e a_{33}=0), então é conveniente expandir pela terceira coluna.
Recordando a regra de expansão por coluna: se \,a_{i3} é o elemento na linha i e coluna 3, então
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores). Para isso precisamos calcular os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor correspondente.
Vamos calcular todos os menores M_{ij} e os cofatores C_{ij} de forma organizada.
Para i=1,j=1: eliminar linha 1 coluna 1 deixa \begin{pmatrix}0 & f_{1}\\[4pt]6 & 0\end{pmatrix}, então
M_{11}=0\cdot 0 - f_{1}\cdot 6 = -6\,f_{1},
e
C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=-6\,f_{1}.
Para i=1,j=2: eliminar linha 1 coluna 2 deixa \begin{pmatrix}1 & f_{1}\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, então
M_{12}=1\cdot 0 - f_{1}\cdot 0 = 0,
e
C_{12}=(-1)^{3}M_{12}=0.
Para i=1,j=3: eliminar linha 1 coluna 3 deixa \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 6\end{pmatrix}, então
M_{13}=1\cdot 6 - 0\cdot 0 = 6,
e
C_{13}=(-1)^{4}M_{13}=6.
Para i=2,j=1: eliminar linha 2 coluna 1 deixa \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]6 & 0\end{pmatrix}, então
M_{21}=1\cdot 0 - 0\cdot 6 = 0,
e
C_{21}=(-1)^{3}M_{21}=0.
Para i=2,j=2: eliminar linha 2 coluna 2 deixa \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, então
M_{22}=2\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0,
e
C_{22}=(-1)^{4}M_{22}=0.
Para i=2,j=3: eliminar linha 2 coluna 3 deixa \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 6\end{pmatrix}, então
M_{23}=2\cdot 6 - 1\cdot 0 = 12,
e
C_{23}=(-1)^{5}M_{23}=-12.
Para i=3,j=1: eliminar linha 3 coluna 1 deixa \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & f_{1}\end{pmatrix}, então
M_{31}=1\cdot f_{1} - 0\cdot 0 = f_{1},
e
C_{31}=(-1)^{4}M_{31}=f_{1}.
Para i=3,j=2: eliminar linha 3 coluna 2 deixa \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]1 & f_{1}\end{pmatrix}, então
M_{32}=2\cdot f_{1} - 0\cdot 1 = 2\,f_{1},
e
C_{32}=(-1)^{5}M_{32}=-2\,f_{1}.
Para i=3,j=3: eliminar linha 3 coluna 3 deixa \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}, então
Agora simplificamos cada entrada multiplicando por 1/(-12\,f_{1}). Fazendo as contas termo a termo (vou mostrar o cálculo de cada entrada para você poder reproduzir na prova sem calculadora):
o que confere com a primeira coluna da identidade. Procedimentos semelhantes confirmam as demais colunas (o cálculo completo é análogo), então a inversa encontrada está correta quando \,f_{1}\neq 0.]