Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad T(x, y, z)=-3 x+2 y-z

Passo 1

O enunciado dá a função T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} definida por
T(x,y,z) = -3x + 2y - z.
O que se pede: verificar se T é linear (ou seja, responder “é linear” ou “não é linear”).
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio: \mathbb{R}^{3}.
  • Contradomínio: \mathbb{R}.
  • Regra explícita: para qualquer tripla (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}, T(x,y,z) = -3x + 2y - z.

Passo 2

Definição prática de linearidade (a regra que vamos usar): uma aplicação T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{3} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, as duas propriedades valem:
\text{(Aditividade)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(Homogeneidade)}\quad T(c\,u)=c\,T(u).
Explicando com calma: “aditividade” significa que aplicar T à soma de dois vetores dá o mesmo que somar os resultados de T aplicados separadamente; “homogeneidade” significa que fatorar um número c antes de aplicar T é o mesmo que aplicá-lo depois, multiplicando o resultado por c. Se essas duas propriedades acontecerem para todos os vetores e escalares, T é linear.

Passo 3

Verificação da aditividade. Vamos tomar vetores genéricos
u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2),
onde x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2\in\mathbb{R}. Primeiro calculemos u+v:
u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Agora aplicamos T a essa soma:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Pela definição da função, isso vale
T(u+v)=-3(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)-(z_1+z_2).
Agora expandimos os parênteses, mostrando passo a passo:
-3(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)-(z_1+z_2) = (-3x_1+2y_1-z_1) + (-3x_2+2y_2-z_2).
Mas (-3x_1+2y_1-z_1)=T(x_1,y_1,z_1)=T(u) e (-3x_2+2y_2-z_2)=T(x_2,y_2,z_2)=T(v). Portanto
T(u+v)=T(u)+T(v).
Conclusão parcial: a propriedade de aditividade está satisfeita para vetores genéricos.

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Tome um escalar arbitrário c\in\mathbb{R} e um vetor genérico u=(x_1,y_1,z_1). Primeiro calculemos c\,u:
c\,u=(c x_1,\; c y_1,\; c z_1).
Agora aplicamos T em c\,u:
T(c\,u)=T(c x_1,\; c y_1,\; c z_1).
Pela definição,
T(c\,u) = -3(c x_1) + 2(c y_1) - (c z_1).
Fatorando c dos termos (mostrando a operação explicitamente),
-3(c x_1) + 2(c y_1) - (c z_1) = c(-3x_1 + 2y_1 - z_1).
Mas -3x_1 + 2y_1 - z_1 = T(x_1,y_1,z_1)=T(u). Assim
T(c\,u) = c\,T(u).
Conclusão parcial: a propriedade de homogeneidade também está satisfeita para qualquer escalar c e qualquer vetor u.

Passo 5

Conclusão a partir das verificações: como mostramos que, para vetores genéricos u,v e escalar genérico c, valem simultaneamente
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(c\,u)=c\,T(u),
então T satisfaz as duas propriedades exigidas pela definição de linearidade. Logo, T é uma transformação linear.
Comentário didático extra (útil para a prova): a função T(x,y,z)=-3x+2y-z é exatamente o produto interno (ou produto escalar) do vetor (x,y,z) com o vetor fixo (-3,2,-1):
T(x,y,z) = (-3,2,-1)\cdot(x,y,z).
Como o produto escalar em \mathbb{R}^{n} é linear em cada argumento, isso dá outra maneira rápida de ver que T é linear. Além disso, uma verificação alternativa e rápida usada na prova é checar T nas imagens dos vetores da base canônica \,e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1)\,: aqui T(e_1)=-3, T(e_2)=2, T(e_3)=-1; como a regra é combinação linear dessas imagens, T estende linearmente a todo \mathbb{R}^3.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (aplica o que fizemos): escolha u=(1,2,0) e v=(0,1,-1).
Calcule T(u) = -3\cdot1 + 2\cdot2 - 0 = -3 + 4 = 1.
Calcule T(v) = -3\cdot0 + 2\cdot1 - (-1) = 0 + 2 + 1 = 3.
Então T(u)+T(v)=1+3=4.
Agora u+v=(1,3,-1) e
T(u+v) = -3\cdot1 + 2\cdot3 - (-1) = -3 + 6 + 1 = 4.
Vemos concretamente que T(u+v)=T(u)+T(v) nesse exemplo, reforçando o que provamos de forma geral.

Resposta

T é linear.

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