Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede: verificar se
é linear (ou seja, responder “é linear” ou “não é linear”).
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio:
. - Contradomínio:
. - Regra explícita: para qualquer tripla
, .
Passo 2
Definição prática de linearidade (a regra que vamos usar): uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as duas propriedades valem:
Explicando com calma: “aditividade” significa que aplicar
à soma de dois vetores dá o mesmo que somar os resultados de
aplicados separadamente; “homogeneidade” significa que fatorar um número
antes de aplicar
é o mesmo que aplicá-lo depois, multiplicando o resultado por
. Se essas duas propriedades acontecerem para todos os vetores e escalares,
é linear.
Passo 3
Verificação da aditividade. Vamos tomar vetores genéricos
onde
. Primeiro calculemos
:
Agora aplicamos
a essa soma:
Pela definição da função, isso vale
Agora expandimos os parênteses, mostrando passo a passo:
Mas
e
. Portanto
Conclusão parcial: a propriedade de aditividade está satisfeita para vetores genéricos.
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Tome um escalar arbitrário
e um vetor genérico
. Primeiro calculemos
:
Agora aplicamos
em
:
Pela definição,
Fatorando
dos termos (mostrando a operação explicitamente),
Mas
. Assim
Conclusão parcial: a propriedade de homogeneidade também está satisfeita para qualquer escalar
e qualquer vetor
.
Passo 5
Conclusão a partir das verificações: como mostramos que, para vetores genéricos
e escalar genérico
, valem simultaneamente
então
satisfaz as duas propriedades exigidas pela definição de linearidade. Logo,
é uma transformação linear.
Comentário didático extra (útil para a prova): a função
é exatamente o produto interno (ou produto escalar) do vetor
com o vetor fixo
:
Como o produto escalar em
é linear em cada argumento, isso dá outra maneira rápida de ver que
é linear. Além disso, uma verificação alternativa e rápida usada na prova é checar
nas imagens dos vetores da base canônica
: aqui
,
,
; como a regra é combinação linear dessas imagens,
estende linearmente a todo
.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (aplica o que fizemos): escolha
e
.
Calcule
Calcule
Então
Agora e
Calcule
Calcule
Então
Agora
Vemos concretamente que
nesse exemplo, reforçando o que provamos de forma geral.