(7) Considere a superfície S obtida pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de uma função f, com derivada contínua e f(x) \geq 0 em a, b. Sabendo que a área da superfície S é dada por
\operatorname{Área}(S)=2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x
calcule a área das superfícies geradas pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen} x, 0 \leq x \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície S obtida ao girar, em torno do eixo x, o gráfico de
f(x)=\sin x,\quad 0\le x\le \pi,
sabendo que a fórmula geral é
\mathrm{Área}(S)=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\,\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}\;dx.Á
O conteúdo aqui é cálculo de superfície de revolução e integrais com substituição trigonométrica.

Passo 2

Substituindo f(x)=\sin x e f'(x)=\cos x na fórmula, obtemos
\mathrm{Área}(S) =2\pi\int_{0}^{\pi}\sin x\,\sqrt{1+\cos^{2}x}\;dx.Á

Passo 3

Fazemos a substituição u=\cos x, daí du=-\sin x\,dx. Quando x=0 vem u=1 e quando x=\pi vem u=-1. Logo
\int_{0}^{\pi}\sin x\,\sqrt{1+\cos^{2}x}\;dx =\int_{1}^{-1}-\sqrt{1+u^{2}}\;du =\int_{-1}^{1}\sqrt{1+u^{2}}\;du.

Passo 4

Como \sqrt{1+u^{2}} é função par,
\int_{-1}^{1}\sqrt{1+u^{2}}\;du =2\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^{2}}\;du.
Portanto
\mathrm{Área}(S) =2\pi\cdot2\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^{2}}\;du =4\pi\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^{2}}\;du.Á

Passo 5

Uma primitiva de \sqrt{1+u^{2}} é
\frac{u}{2}\sqrt{1+u^{2}} +\frac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^{2}}\bigr).
Avaliando de 0 a 1
\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^{2}}\;du =\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\Bigr).

Passo 6

Substituindo de volta em \mathrm{Área}(S)=4\pi\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^{2}}\,duÁ, resulta
\mathrm{Área}(S) =4\pi\cdot\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\Bigr) =2\pi\bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\bigr).Á

Resposta

2\pi\bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\bigr).

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