(7) Considere a superfície
obtida pela rotação, em torno do eixo
, do gráfico de uma função
, com derivada contínua e
em
. Sabendo que a área da superfície
é dada por
calcule a área das superfícies geradas pela rotação, em torno do eixo
, do gráfico das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície
obtida ao girar, em torno do eixo
, o gráfico de
sabendo que a fórmula geral é
O conteúdo aqui é cálculo de superfície de revolução e integrais com substituição trigonométrica.
Passo 2
Substituindo
e
na fórmula, obtemos
Passo 3
Fazemos a substituição
, daí
. Quando
vem
e quando
vem
. Logo
Passo 4
Como
é função par,
Portanto
Passo 5
Uma primitiva de
é
Avaliando de
a
dá
Passo 6
Substituindo de volta em
, resulta