(4) Calcule, de duas formas diferentes, o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região
O conteúdo é “volume por revolução” e vamos usar dois métodos:
- cascas cilíndricas (shells) em função de
, - lâminas circulares (washers) em função de
.
Passo 2
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
Para cada a “altura” da casca é
Para cada
Note que
muda de sinal em
:
- Se
, então e . - Se
, então e .
O raio da casca é. Logo
Passo 3
Cálculo dos integrais no método das cascas:
Logo
Passo 4
MÉTODO DAS LÂMINAS CIRCULARES
Agora paramos em função de . O sólido entre duas curvas de raio interno
e externo
tem
Agora paramos em função de
Aqui
varia de
a
.
- Se
, a condição é automática e resta , ou seja . Então , . - Se
, junta-se e . Logo
Portanto
Passo 5
Cálculo dos integrais no método das lâminas:
Somando e multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido é
.