(4) Calcule, de duas formas diferentes, o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq \frac{x^{2}}{2}+1\right. e \left.y \geq x^{2}-1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região
A = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \le x \le 2,\;0 \le y \le \tfrac{x^2}{2}+1,\;y \ge x^2-1\bigr\}.
O conteúdo é “volume por revolução” e vamos usar dois métodos:
  1. cascas cilíndricas (shells) em função de x,
  2. lâminas circulares (washers) em função de y.

Passo 2

MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
Para cada x a “altura” da casca é
h(x)=\bigl(\tfrac{x^2}{2}+1\bigr)-\max\{0,\;x^2-1\}.
Note que x^2-1 muda de sinal em x=1:
  • Se 0\le x\le1, então \max\{0,x^2-1\}=0 e h(x)=\tfrac{x^2}{2}+1.
  • Se 1\le x\le2, então \max\{0,x^2-1\}=x^2-1 e h(x)=-\tfrac{x^2}{2}+2.
    O raio da casca é x. Logo
V = 2\pi\int_{0}^{2}x\,h(x)\,dx =2\pi\Bigl[\int_{0}^{1}x\Bigl(\tfrac{x^2}{2}+1\Bigr)dx +\int_{1}^{2}x\Bigl(-\tfrac{x^2}{2}+2\Bigr)dx\Bigr].

Passo 3

Cálculo dos integrais no método das cascas:
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{x^3}{2}+x\Bigr)dx =\Bigl[\tfrac{x^4}{8}+\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{8},
\int_{1}^{2}\Bigl(-\tfrac{x^3}{2}+2x\Bigr)dx =\Bigl[-\tfrac{x^4}{8}+x^2\Bigr]_{1}^{2} =\bigl(-2+4\bigr)-\bigl(-\tfrac{1}{8}+1\bigr) =\tfrac{9}{8}.
Logo
V = 2\pi\Bigl(\tfrac{5}{8}+\tfrac{9}{8}\Bigr) =2\pi\cdot\tfrac{14}{8} =\tfrac{7\pi}{2}.

Passo 4

MÉTODO DAS LÂMINAS CIRCULARES
Agora paramos em função de y. O sólido entre duas curvas de raio interno x_{\min}(y) e externo x_{\max}(y) tem
V=\pi\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\bigl[x_{\max}^2(y)-x_{\min}^2(y)\bigr]\,dy.
Aqui y varia de 0 a 3.
  • Se 0\le y\le1, a condição y\ge x^2-1 é automática e resta y\le \tfrac{x^2}{2}+1, ou seja x\le\sqrt{y+1}. Então x_{\min}=0, x_{\max}=\sqrt{y+1}.
  • Se 1\le y\le3, junta-se y\ge x^2-1\iff x\le\sqrt{y+1} e y\ge x^2-1\iff x\ge\sqrt{2(y-1)}. Logo
x_{\min}=\sqrt{2(y-1)},\quad x_{\max}=\sqrt{y+1}.
Portanto
V = \pi\Bigl[\int_{0}^{1}(y+1)\,dy \;+\;\int_{1}^{3}\bigl((y+1)-2(y-1)\bigr)dy\Bigr].

Passo 5

Cálculo dos integrais no método das lâminas:
\int_{0}^{1}(y+1)\,dy =\Bigl[\tfrac{y^2}{2}+y\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{3}{2}, \quad \int_{1}^{3}\bigl(3-y\bigr)dy =\Bigl[3y-\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{1}^{3} =2.
Somando e multiplicando por \pi:
V = \pi\Bigl(\tfrac{3}{2}+2\Bigr) =\tfrac{7\pi}{2}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{7\pi}{2}.

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