Suponha f(x) \geq 0 e contínua em [a, b], com a>0, e considere o conjunto
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f(x)\right\}
O volume V do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto A, é o número
V=2 \pi \int_{a}^{b} x f(x) d x
Utilize tal fórmula, conhecida como o método das cascas cilíndricas, para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, dos seguintes conjuntos:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x \geq 0, x^{2} \leq y \leq 4\right\}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, a gente quer o volume do sólido gerado ao girar, em torno do eixo y, a região
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\;x\ge0,\;x^2\le y\le4\}.
O conteúdo aqui é o método das cascas cilíndricas, que diz que, se em cada x temos uma “casca” de raio x e altura h(x), então
V=2\pi\int_{x_{\min}}^{x_{\max}}x\,h(x)\,dx.

Passo 2

Primeiro determinamos os limites em x. Como x^2\le4 e x\ge0, temos
0\le x\le2.
Em cada valor de x a altura da casca é a diferença entre o valor superior de y (que é 4) e o inferior (que é x^2). Logo
h(x)=4 - x^2.

Passo 3

Substituindo raio =x e altura =4-x^2 na fórmula das cascas, montamos o integral
V \;=\; 2\pi \int_{0}^{2} x\,\bigl(4 - x^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Vamos calcular
\int_{0}^{2} x\,(4 - x^2)\,dx =\int_{0}^{2}(4x - x^3)\,dx =\Bigl[2x^2 - \tfrac{1}{4}x^4\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(2\cdot4 - \tfrac{1}{4}\cdot16\bigr) - 0 =8 - 4 =4.
Então
V=2\pi \times 4 = 8\pi.

Resposta

O volume do sólido é 8\pi.

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