Considere a superfície
formada pelos pontos
, satisfazendo a equação
.
Encontre todos os pontos
de
nos quais o plano tangente a
em
contenha a origem.
Encontre todos os pontos
Passo 1
Vamos recapitular o enunciado: queremos os pontos
na superfície definida por
tais que o plano tangente em
contenha a origem. O conteúdo aqui é geometria de superfícies implícitas e plano tangente.
Passo 2
Definimos a função implícita
a superfície
é dada por
. Para achar o plano tangente em
, vamos usar o gradiente
.
Passo 3
Calculamos o gradiente:
Logo em
temos
Passo 4
A equação do plano tangente em
é
Para que a origem
esteja nesse plano, basta substituir
e exigir:
Passo 5
Fazendo o produto escalar:
que equivale a
Ou seja
Passo 6
Como
pertence a
, temos
. Substituindo na condição do passo anterior:
logo
e como
, segue
.
Passo 7
Substituindo
em
obtemos
portanto
Passo 8
Concluímos que todos os pontos que satisfazem são
com a relação
e
(e
).
Resposta
Os pontos são
com
ou seja uma família infinita de pontos satisfazendo essa relação.