Considere a superfície S formada pelos pontos (x, y, z) in R^3, satisfazendo a equação x y z=e^x.
Encontre todos os pontos P0=(x0, y0, z0) de S nos quais o plano tangente a S em P0 contenha a origem.

Passo 1

Vamos recapitular o enunciado: queremos os pontos P0=(x0,y0,z0) na superfície definida por x y z = e^x tais que o plano tangente em P0 contenha a origem. O conteúdo aqui é geometria de superfícies implícitas e plano tangente.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y,z)=x y z - e^x
a superfície S é dada por F(x,y,z)=0. Para achar o plano tangente em P0, vamos usar o gradiente nabla F(P0).

Passo 3

Calculamos o gradiente:
nabla F(x,y,z)=l(partialxF,partialyF,partialzFr)=(y z - e^x,;x z,;x y)
Logo em P0 temos
nabla F(P0)=(y0z0-e^x0,;x0z0,;x0y0)

Passo 4

A equação do plano tangente em P0 é
nabla F(P0)cdot(x-x0,y-y0,z-z0)=0
Para que a origem (0,0,0) esteja nesse plano, basta substituir (x,y,z)=(0,0,0) e exigir:
nabla F(P0)cdot(-x0,-y0,-z0)=0

Passo 5

Fazendo o produto escalar:
(y0z0-e^x0)(-x0)+(x0z0)(-y0)+(x0y0)(-z0)=0
que equivale a
- x0y0z0+x0e^x0 - x0y0z0- x0y0z0=0
Ou seja
3x0y0z0 - x0e^x0=0

Passo 6

Como P0 pertence a S, temos x0y0z0=e^x0. Substituindo na condição do passo anterior:
3e^x0 - x0e^x0=0
logo
e^x0(3 - x0)=0
e como e^x0>0, segue x0=3.

Passo 7

Substituindo x0=3 em x0y0z0=e^x0 obtemos
3,y0z0=e^3
portanto
y0z0=e^33

Passo 8

Concluímos que todos os pontos que satisfazem são
P0=(3,y0,z0)
com a relação
y0z0=e^33,
e y0neq0 (e z0neq0).

Resposta

Os pontos são
P0=(3,y0,z0),
com
y0z0=e^33,
ou seja uma família infinita de pontos satisfazendo essa relação.

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