Considere
.Obtenha na lista abaixo uma expressão para a derivada da função inversa,
, em
.
Passo 1
Beleza! A gente tem a função
e precisa encontrar a derivada da função inversa
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função inversa,
, é dada por:
Isso significa que precisamos calcular a derivada de
, ou seja,
, e depois avaliar no ponto que corresponde a
.
Passo 3
Vamos calcular
. A função
é composta por duas partes:
e
. A derivada de cada parte é:
Então, a derivada total é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Pelo enunciado, sabemos que:
Isso quer dizer que:
Passo 5
Com isso, vamos calcular
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada da função inversa:
Vamos simplificar o denominador:
Portanto:
Resposta
A derivada da função inversa no ponto
é
.