Considere y=f(x)=ln (x)+arctan (4 x).Obtenha na lista abaixo uma expressão para a derivada da função inversa, (f^-1(y)), em y0=ln (5)+arctan (20).

Passo 1

Beleza! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada da função inversa no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função inversa, (f^-1(y))' = 1f'(f^-1(y)) , é dada por:
Isso significa que precisamos calcular a derivada de , ou seja, , e depois avaliar no ponto que corresponde a .

Passo 3

Vamos calcular ddx ln(x) = 1x . A função ddx arctan(4x) = 41 + (4x)^2 é composta por duas partes: f'(x) = 1x + 41 + 16x^2 e . A derivada de cada parte é:
Então, a derivada total é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de y0 = ln(5) + arctan(20) = f(5) . Pelo enunciado, sabemos que:
f^-1(y0) = 5
Isso quer dizer que:

Passo 5

Com isso, vamos calcular f'(5) = 15 + 41 + 16 times 5^2 = 15 + 41 + 400 = 15 + 4401 :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada da função inversa:
(f^-1(y0))' = 1f'(5) = 115 + 4401
Vamos simplificar o denominador:
15 + 4401 = 4012005 + 202005 = 4212005
Portanto:
(f^-1(y0))' = 14212005 = 2005421

Resposta

A derivada da função inversa no ponto é .

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