Exercício 8.9 Obtenha uma representação em série de potências (de Taylor) para cada uma das seguintes funçōes, a partir dos desenvolvimentos conhecidos das funçöes exponencial, seno, co-seno e
. Em cada caso, indique o maior conjunto onde é válida a representação.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a representação em série de potências, ou seja, a série de Taylor, da função $ e{-x{2}} $. Para isso, vamos usar os desenvolvimentos que já conhecemos das funções exponencial, seno, cosseno e $ \frac{1}{1-x} $. No final, também vamos determinar para quais valores de $ x $ essa série é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função exponencial $ e^{x} $. A série de Taylor de $ e^{x} $ centrada em 0 (também chamada de série de Maclaurin) é:
Isso significa que podemos escrever $ e^{x} $ como uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ x $ divididas pelo fatorial de $ n $.
Passo 3
Agora, na nossa função original temos $ e{-x{2}} $. Vamos substituir $ x $ por $ -x^{2} $ na série de $ e^{x} $:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão que obtivemos. Sabemos que $ (-x{2}){n} = (-1){n}x{2n} $. Então, a série fica:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a série para deixar mais claro:
Isso mostra os primeiros termos da série de potências de $ e{-x{2}} $.
Passo 6
Por último, vamos determinar o conjunto de valores de $ x $ para os quais essa série é válida, ou seja, o intervalo de convergência. A série de Taylor para $ e^{x} $ converge para todo $ x $ real, e como fizemos apenas uma substituição, a série de $ e{-x{2}} $ também converge para todo $ x $ real.
Resposta
A representação em série de potências de $ e{-x{2}} $ é:
Essa série é válida para todo número real $ x $.