Considere a superposição de duas ondas:
y_{1}=y_{m} \cdot \operatorname{sen}(\kappa \cdot x-\omega \cdot t)
y_{2}=y_{m} \cdot \operatorname{sen}(\kappa \cdot x+\omega \cdot t)
sendo y_{m}=(0,40 m), k=\left(20 \cdot m^{-1}\right) e \omega=25 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
calcule o módulo da VELOCIDADE TRANSVERSAL da onda resultante para \mathbf{x}=\mathbf{0 , 2 m}, \mathbf{t}=\mathbf{0 , 0 2 s} (em \mathrm{m} / \mathrm{s} ).

Passo 1

O enunciado pede o módulo da velocidade transversal (velocidade vertical) da onda resultante formada pela superposição de
y_{1}=y_{m}\,\operatorname{sen}(\kappa x-\omega t)
e
y_{2}=y_{m}\,\operatorname{sen}(\kappa x+\omega t),
nos pontos \,x=0,2\\ \text{m}\, e \,t=0,02\\ \text{s}\,.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
y_{m}=0,40\\ \text{m},\qquad \kappa=20\\ \text{m}^{-1},\qquad \omega=25\\ \text{rad/s},
x=0,2\\ \text{m},\qquad t=0,02\\ \text{s}.
O que vamos calcular: o módulo da velocidade transversal |v_y| da onda resultante no par (x,t) dado.

Passo 2

Primeiro, somamos as duas ondas para obter a onda resultante y(x,t). Usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B=2\operatorname{sen}\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Tomando A=\kappa x-\omega t e B=\kappa x+\omega t temos
\frac{A+B}{2}=\kappa x,\qquad \frac{A-B}{2}=-\omega t,
e como \cos(-\omega t)=\cos(\omega t) obtemos
y(x,t)=y_{1}+y_{2}=2y_{m}\,\operatorname{sen}(\kappa x)\cos(\omega t).
Explicação simples desta forma de onda: é uma onda estacionária cuja amplitude espacial é 2y_{m}\sin(\kappa x) e que oscila no tempo como \cos(\omega t).

Passo 3

A velocidade transversal instantânea v_y(x,t) é a derivada parcial de y(x,t) em relação ao tempo t:
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}.
Derivando
y(x,t)=2y_{m}\,\operatorname{sen}(\kappa x)\cos(\omega t),
a única dependência em t está em \cos(\omega t). Usando \dfrac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t) (onde \omega é a frequência angular, em rad/s), obtemos
v_y(x,t) = 2y_{m}\,\operatorname{sen}(\kappa x)\cdot\left(-\omega\sin(\omega t)\right) = -2y_{m}\,\omega\,\operatorname{sen}(\kappa x)\,\sin(\omega t).
O módulo da velocidade transversal é, portanto,
|v_y(x,t)| = 2y_{m}\,\omega\,\big|\operatorname{sen}(\kappa x)\big|\;\big|\sin(\omega t)\big|.
Aqui cada símbolo significa:
  • y_{m}: amplitude de cada onda (m);
  • \kappa: número de onda (m^{-1});
  • \omega: frequência angular (rad/s);
  • x,t: posição e tempo onde avaliamos;
  • \operatorname{sen} é a função seno.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
Calcular \kappa x e \omega t:
\kappa x = 20\cdot 0,2 = 4\\ \text{rad}, \qquad \omega t = 25\cdot 0,02 = 0,5\\ \text{rad}.
Avaliar os senos (valores aproximados; estes são valores padrão de seno em radianos):
\operatorname{sen}(4)\approx -0,756802495,\qquad \big|\operatorname{sen}(4)\big|\approx 0,756802495,
\sin(0,5)\approx 0,479425539,\qquad \big|\sin(0,5)\big|\approx 0,479425539.
Calcular o fator prefatorial:
2y_{m}\omega = 2\cdot 0,40\cdot 25 = 20.
Agora o módulo da velocidade:
|v_y| = 20\cdot 0,756802495\cdot 0,479425539 \approx 7,24715508\\ \text{m/s}.
Arredondando de forma adequada (duas casas decimais costuma ser suficiente em exercícios):
|v_y|\approx 7,25\\ \text{m/s}.
Você chegou até aqui — ótima! Se estiver na prova e não tiver calculadora, basta saber calcular \kappa x e \omega t à mão; os valores dos senos normalmente vêm de tabelas ou calculadora, então memorize ou estime conforme permitido.

Resposta

7,25\\ \mathrm{m/s}

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