( 0,75 ponto) Partindo da equação de Boltzmann da entropia estatística, derive a expressão que relaciona a variação da entropia com a expansão isotérmica de um gás.
Passo 1
O enunciado pede: a partir da equação de Boltzmann para a entropia estatística, derivar a expressão que relaciona a variação da entropia com a expansão isotérmica de um gás.
Informações e quantidades relevantes que temos que usar (sem ainda resolver):
Informações e quantidades relevantes que temos que usar (sem ainda resolver):
- A equação de Boltzmann:
. - Temos um gás que passa por uma expansão isotérmica (temperatura constante) de um estado 1 para um estado 2, com volumes
e . - Variáveis e constantes que vão aparecer:
(entropia), (constante de Boltzmann), (número de microestados acessíveis), (número de partículas), (número de mols), (constante dos gases). - Objetivo final esperado (pela física clássica/termodinâmica): uma expressão do tipo
.
Passo 2
Apresentar e entender a fórmula de Boltzmann, termo a termo.
A equação de Boltzmann é
A equação de Boltzmann é
onde:
-
é a entropia macroscópica do sistema; -
é a constante de Boltzmann ( ); -
é o número de microestados compatíveis com as condições macroscópicas (configurações microscópicas com mesma energia média, etc.).
Explicação didática: a ideia é que quanto mais microestados microscopicamente possíveis para a mesma condição macroscópica, maior a entropia. O log transforma o crescimento exponencial de microestados em uma grandeza extensa (proporcional a
, por exemplo).
Passo 3
Modelagem do número de microestados
para um gás ideal e como a mudança de volume altera
.
Raciocínio físico-estatístico (passo a passo, sem pular etapas):
Raciocínio físico-estatístico (passo a passo, sem pular etapas):
- Para um gás ideal clássico de
partículas não interagentes, a fase (espaço de posição) disponível para cada partícula é proporcional ao volume . Se discretizamos a fase de posição em células pequenas, o número de escolhas de posição para a partícula 1 é proporcional a , para a partícula 2 também proporcional a , e assim por diante. Portanto a parte de posição do espaço de microestados escala como . - A parte de momento (espaço de momento) depende da energia (ou da temperatura) mas — em uma expansão isotérmica — a distribuição de momenta é controlada pela temperatura e não muda quando apenas o volume varia; então a contribuição dos momentos para
é uma função que depende de e mas independe de . - Assim podemos escrever, para algum fator que depende apenas de
e ,
onde
engloba a parte dependente do momento e fatores constantes (incluindo, se for o caso, o fator
de indistinguibilidade — isso só entra em
, uma constante para variações de
).
Observação importante e didática sobre indistinguibilidade: o fator muda o valor absoluto de
mas é independente de
, então quando calculamos variação de entropia entre dois volumes esse fator cancela ao formar uma razão
. Assim não altera o resultado para
.
Observação importante e didática sobre indistinguibilidade: o fator
Passo 4
Usar a expressão de
dentro da fórmula de Boltzmann e calcular a variação de entropia entre os estados 1 e 2.
Substituindo em
dá
Substituindo
Agora calcular a variação de entropia quando o volume passa de
para
(temperatura
fixa, então
não muda):
Os termos
cancelam, restando
Passo 5
Expressar o resultado em termos de mols e da constante dos gases; verificar consistência com a termodinâmica.
Relacionamentos úteis:
Relacionamentos úteis:
- O número de partículas
é , onde é o número de mols e é a constante de Avogadro. - A constante dos gases perfeitos
relaciona-se com por .
Multiplicando:
Portanto a variação de entropia fica
Consistência termodinâmica (cheirinho de verificação): para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, a primeira lei e a equação de estado dão
e assim
, igual ao resultado estatístico acima — perfeito sinal de que a derivação estatística bate com a termodinâmica clássica.
Passo 6
Observações finais e limitações (preguicinha da prova evitada: cuidado com hipóteses).
- Hipóteses usadas e por que são razoáveis para a prova: gás ideal clássico (partículas não interagentes), processo reversível e isotérmico (temperatura constante), e tratamento estatístico clássico (discretização do espaço de posições e independência da parte de momento em relação a
). - Se houver efeitos quânticos ou interações fortes, a dependência exata de
com pode ser diferente; entretanto para muitos exercícios de graduação essa modelagem é a esperada. - Dica para a prova: ao ver “partindo de
”, pense em como muda com a grandeza macroscópica que varia (aqui ) — muitas derivações estatísticas seguem esse raciocínio direto e curto. Força — já tá indo bem!