Considere T uma função de R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x-y+2 z, 2 x,-x-2 y+2 z)
(i) Verifique que T é uma transformação linear.
(ii) Se (a, b, c) é um vetor de R^3, quais as condições sobre a, b e c para que o vetor esteja na imagem de T ? Qual a dimensão da imagem?
(iii) Quais condições sobre a, b e c para que (a, b, c) esteja no núcleo de T ? Qual a dimensão do núcleo?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função T(x, y, z) = (x - y + 2z,, 2x,,-x - 2y + 2z) definida por
O exercício está dividido em três partes:
  1. Verificar se é uma transformação linear.
  2. Determinar as condições para que um vetor esteja na imagem de e encontrar a dimensão dessa imagem.
  3. Encontrar as condições para que esteja no núcleo de e descobrir a dimensão do núcleo.
Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte (i): Verificar que T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) - (y1 + y2) + 2(z1 + z2),, 2(x1 + x2),, -(x1 + x2) - 2(y1 + y2) + 2(z1 + z2)) é uma transformação linear.
Para mostrar que = (x1 - y1 + 2z1 + x2 - y2 + 2z2,, 2x1 + 2x2,, -x1 - 2y1 + 2z1 - x2 - 2y2 + 2z2) é linear, precisamos verificar duas propriedades:
  1. Aditividade: T(u) + T(v) = (x1 - y1 + 2z1,, 2x1,, -x1 - 2y1 + 2z1) + (x2 - y2 + 2z2,, 2x2,, -x2 - 2y2 + 2z2) para quaisquer vetores = (x1 - y1 + 2z1 + x2 - y2 + 2z2,, 2x1 + 2x2,, -x1 - 2y1 + 2z1 - x2 - 2y2 + 2z2) em T(ku) = T(kx, ky, kz) = (kx - ky + 2kz,, 2kx,, -kx - 2ky + 2kz) .
  2. Homogeneidade: = k(x - y + 2z,, 2x,, -x - 2y + 2z) = kT(u) para qualquer escalar e vetor em .
Vamos verificar cada uma:
Aditividade:
Sejam e .
Simplificando:
Por outro lado:
Como , a aditividade está satisfeita.
Homogeneidade:
Para um escalar e vetor :
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.
Como satisfaz ambas as propriedades, ela é uma transformação linear.

Passo 3

Parte (ii): Determinar as condições para que T(x, y, z) = (a, b, c) esteja na imagem de x - y + 2z = a 2x = b - x - 2y + 2z = c e encontrar a dimensão dessa imagem.
Queremos encontrar todas as soluções para:
2x = b Rightarrow x = b2
Ou seja:
b2 - y + 2z = a Rightarrow -y + 2z = a - b2 Rightarrow y = 2z - (a - b2)
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 3.1: Expressar - b2 - 2(2z - (a - b2)) + 2z = c em termos de - b2 - 4z + 2a - b + 2z = c Rightarrow 2a - 3b2 - 2z = c .
Da segunda equação:
Rightarrow 2a - 3b2 - c = 2z Rightarrow z = 2a - 3b2 - c2
Passo 3.2: Substituir c = 2a - 3b2 na primeira equação para encontrar uma relação entre e .
Passo 3.3: Substituir e na terceira equação para encontrar uma condição adicional.
Simplificando:
Passo 3.4: Concluir as condições para estar na imagem de .
Para existir uma solução, as condições devem ser consistentes. A partir das equações acima, podemos ver que qualquer que satisfaça:
estará na imagem de .
Dimensão da imagem de :
A imagem de é o conjunto de vetores que satisfazem . Isso define uma reta no espaço tridimensional, que é um subespaço de dimensão 2 (pois há duas variáveis livres, e ).

Passo 4

Parte (iii): Determinar as condições para que T(x, y, z) = (0, 0, 0) esteja no núcleo de x - y + 2z = 0 2x = 0 - x - 2y + 2z = 0 e encontrar a dimensão do núcleo.
O núcleo de 2x = 0 Rightarrow x = 0 é o conjunto de vetores 0 - y + 2z = 0 Rightarrow -y + 2z = 0 Rightarrow y = 2z que são mapeados para o vetor zero:
-0 - 2(2z) + 2z = 0 Rightarrow -4z + 2z = -2z = 0 Rightarrow z = 0
Ou seja:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 4.1: Da segunda equação, encontrar .
Passo 4.2: Substituir na primeira equação.
Passo 4.3: Substituir e na terceira equação.
Passo 4.4: Concluir as condições para estar no núcleo de .
A única solução é , , e . Portanto, o núcleo de consiste apenas do vetor zero.
Dimensão do núcleo de :
Como o núcleo contém apenas o vetor zero, ele é trivial e tem dimensão 0.

Resposta

(i) é uma transformação linear.
(ii) Para que esteja na imagem de , deve satisfazer . A dimensão da imagem é 2.
(iii) Só o vetor está no núcleo de . A dimensão do núcleo é 0.

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