(i) Verifique que é uma transformação linear.
(ii) Se é um vetor de , quais as condições sobre e para que o vetor esteja na imagem de ? Qual a dimensão da imagem?
(iii) Quais condições sobre e para que esteja no núcleo de ? Qual a dimensão do núcleo?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por
O exercício está dividido em três partes:
Verificar se é uma transformação linear.
Determinar as condições para que um vetor esteja na imagem de e encontrar a dimensão dessa imagem.
Encontrar as condições para que esteja no núcleo de e descobrir a dimensão do núcleo.
Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte (i): Verificar que é uma transformação linear.
Para mostrar que é linear, precisamos verificar duas propriedades:
Aditividade: para quaisquer vetores em .
Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor em .
Vamos verificar cada uma:
Aditividade:
Sejam e .
Simplificando:
Por outro lado:
Como , a aditividade está satisfeita.
Homogeneidade:
Para um escalar e vetor :
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.
Como satisfaz ambas as propriedades, ela é uma transformação linear.
Passo 3
Parte (ii): Determinar as condições para que esteja na imagem de e encontrar a dimensão dessa imagem.
Queremos encontrar todas as soluções para:
Ou seja:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 3.1: Expressar - b2 - 2(2z - (a - b2)) + 2z = c em termos de - b2 - 4z + 2a - b + 2z = c Rightarrow 2a - 3b2 - 2z = c .
Da segunda equação:
Rightarrow 2a - 3b2 - c = 2z Rightarrow z = 2a - 3b2 - c2
Passo 3.2: Substituir c = 2a - 3b2 na primeira equação para encontrar uma relação entre e .
Passo 3.3: Substituir e na terceira equação para encontrar uma condição adicional.
Simplificando:
Passo 3.4: Concluir as condições para estar na imagem de .
Para existir uma solução, as condições devem ser consistentes. A partir das equações acima, podemos ver que qualquer que satisfaça:
estará na imagem de .
Dimensão da imagem de :
A imagem de é o conjunto de vetores que satisfazem . Isso define uma reta no espaço tridimensional, que é um subespaço de dimensão 2 (pois há duas variáveis livres, e ).
Passo 4
Parte (iii): Determinar as condições para que T(x, y, z) = (0, 0, 0) esteja no núcleo de x - y + 2z = 0 2x = 0 - x - 2y + 2z = 0 e encontrar a dimensão do núcleo.
O núcleo de 2x = 0 Rightarrow x = 0 é o conjunto de vetores 0 - y + 2z = 0 Rightarrow -y + 2z = 0 Rightarrow y = 2z que são mapeados para o vetor zero: