Dados dois pontos A(0,1,-1) e B(1,2,-1) e os vetores u=(-2,-1,1), v=(3,0,-1) e w=(-2,2,2), verifique se existem os números a1, a2 e a3 tais que w=a1 A B+a2 u+a3 v.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois pontos no espaço, A(0, 1, -1) e B(1, 2, -1), além de três vetores: u = (-2, -1, 1), v = (3, 0, -1) e w = (-2, 2, 2). A tarefa é descobrir se existe uma combinação linear desses vetores, mais o vetor que vai de A até B, tal que w seja igual a essa combinação. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor AB = B - A = (1-0, , 2-1, , -1 - (-1)) = (1, , 1, , 0) . Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:

Passo 3

Agora, queremos encontrar se existem números w = a1 AB + a2 u + a3 v , (-2, , 2, , 2) = a1 (1, , 1, , 0) + a2 (-2, , -1, , 1) + a3 (3, , 0, , -1) e que satisfaçam a equação:
Substituindo os vetores conhecidos:

Passo 4

Vamos separar isso em componentes para formar um sistema de equações. Isso significa que cada dimensão (x, y, z) deve ser igual:
Para a componente x:
-2 = a1 cdot 1 + a2 cdot (-2) + a3 cdot 3
Para a componente y:
2 = a1 cdot 1 + a2 cdot (-1) + a3 cdot 0
Para a componente z:
2 = a1 cdot 0 + a2 cdot 1 + a3 cdot (-1)
Então, temos o seguinte sistema de equações:
a1 - 2a2 + 3a3 = -2 a1 - a2 = 2 a2 - a3 = 2

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação, podemos expressar a1 = 2 + a2 em termos de a2 = 2 + a3 :
Da terceira equação, podemos expressar em termos de :

Passo 6

Agora, substituímos a1 = 2 + (2 + a3) = 4 + a3 na expressão de :

Passo 7

Com (4 + a3) - 2(2 + a3) + 3a3 = -2 e 4 + a3 - 4 - 2a3 + 3a3 = -2 , substituímos esses valores na primeira equação do sistema:
(4 - 4) + (a3 - 2a3 + 3a3) = -2
Simplificando:
2a3 = -2
a3 = -1

Passo 8

Agora que sabemos que a2 = 2 + a3 = 2 + (-1) = 1 , podemos encontrar a1 = 4 + a3 = 4 + (-1) = 3 e :

Resposta

Sim, existem os números , e que satisfazem a equação .

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