Dados dois pontos e e os vetores , e , verifique se existem os números e tais que .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois pontos no espaço, A(0, 1, -1) e B(1, 2, -1), além de três vetores: u = (-2, -1, 1), v = (3, 0, -1) e w = (-2, 2, 2). A tarefa é descobrir se existe uma combinação linear desses vetores, mais o vetor que vai de A até B, tal que w seja igual a essa combinação. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor AB = B - A = (1-0, , 2-1, , -1 - (-1)) = (1, , 1, , 0) . Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
Passo 3
Agora, queremos encontrar se existem números w = a1 AB + a2 u + a3 v , (-2, , 2, , 2) = a1 (1, , 1, , 0) + a2 (-2, , -1, , 1) + a3 (3, , 0, , -1) e que satisfaçam a equação:
Substituindo os vetores conhecidos:
Passo 4
Vamos separar isso em componentes para formar um sistema de equações. Isso significa que cada dimensão (x, y, z) deve ser igual:
Para a componente x:
-2 = a1 cdot 1 + a2 cdot (-2) + a3 cdot 3
Para a componente y:
2 = a1 cdot 1 + a2 cdot (-1) + a3 cdot 0
Para a componente z:
2 = a1 cdot 0 + a2 cdot 1 + a3 cdot (-1)
Então, temos o seguinte sistema de equações:
a1 - 2a2 + 3a3 = -2 a1 - a2 = 2 a2 - a3 = 2
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação, podemos expressar a1 = 2 + a2 em termos de a2 = 2 + a3 :
Da terceira equação, podemos expressar em termos de :
Passo 6
Agora, substituímos a1 = 2 + (2 + a3) = 4 + a3 na expressão de :
Passo 7
Com (4 + a3) - 2(2 + a3) + 3a3 = -2 e 4 + a3 - 4 - 2a3 + 3a3 = -2 , substituímos esses valores na primeira equação do sistema: