Determine a equação vetorial das retas que é a interseção do hiperboloide de uma folha de equação , com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação vetorial das retas que são a interseção entre um hiperboloide de uma folha e o plano . Para isso, vamos usar as equações dos dois objetos e resolver o sistema que eles formam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação do hiperboloide de uma folha:
E o plano dado é:
Como o plano fixa o valor de em 3, vamos substituir na equação do hiperboloide para simplificar a resolução.
Passo 3
Substituindo na equação do hiperboloide:
Isso simplifica para:
Agora, subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para relacionar e :
Multiplicando ambos os lados por 16:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, lembrando de considerar os dois sinais:
Passo 5
Agora, para encontrar as equações das retas, vamos parametrizar e usando um parâmetro :
Para , podemos escolher:
Para , podemos escolher:
Lembrando que para ambas as retas.
Resposta
As equações vetoriais das retas de interseção são: