Determine a equação vetorial das retas que é a interseção do hiperboloide de uma folha de equação x^23^2+y^24^2-z^25^2=1, com o plano x=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação vetorial das retas que são a interseção entre um hiperboloide de uma folha e o plano . Para isso, vamos usar as equações dos dois objetos e resolver o sistema que eles formam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação do hiperboloide de uma folha:
x^23^2 + y^24^2 - z^25^2 = 1
E o plano dado é:
x = 3
Como o plano fixa o valor de em 3, vamos substituir na equação do hiperboloide para simplificar a resolução.

Passo 3

Substituindo 3^23^2 + y^24^2 - z^25^2 = 1 na equação do hiperboloide:
1 + y^216 - z^225 = 1
Isso simplifica para:
y^216 - z^225 = 0
Agora, subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para relacionar y^216 = z^225 e y^2 = 16z^225 :
y = pm 45 z
Multiplicando ambos os lados por 16:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, lembrando de considerar os dois sinais:

Passo 5

Agora, para encontrar as equações das retas, vamos parametrizar y = 4t e z = 5t e y = 4t e z = -5t usando um parâmetro :
  • Para , podemos escolher:
  • Para , podemos escolher:
Lembrando que para ambas as retas.

Resposta

As equações vetoriais das retas de interseção são:
r1(t) = x = 3 y = 4t z = 5t e r2(t) = x = 3 y = 4t z = -5t
onde é um parâmetro real.

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