Em \mathbb{R}^{3}, considere a rotação anti-horária de ângulo \theta em torno do eixo- y e B=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} a base canônica.
a) Sejam u_{1}, u_{2} e u_{3} os vetores obtidos pela rotação dos vetores e_{1}, e_{2} e e_{3}, respectivamente. Determine as coodenadas \left[u_{1}\right]_{B},\left[u_{2}\right]_{B} e \left[u_{3}\right]_{B} desses vetores na base B.
b) Se B^{\prime}=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\}, determine a matriz de mudança de base [I]_{B}^{B^{\prime}} da base B^{\prime} para a base B.
c) Determine o vetor obtido após a rotação anti-horária do vetor w=(1,-2,3) em torno do eixo-y de ângulo \pi / 4.
Passo 1
O enunciado dá uma rotação anti-horária de ângulo \theta em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo-y. A base canônica é B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}. Pede-se:
(a) se u_{1},u_{2},u_{3} são os vetores obtidos ao rotacionar e_{1},e_{2},e_{3} respectivamente, determinar as coordenadas \left[u_{1}\right]_{B},\left[u_{2}\right]_{B},\left[u_{3}\right]_{B};
(b) sendo B'=\{u_{1},u_{2},u_{3}\}, determinar a matriz de mudança de base [I]_{B}^{B'} da base B' para a base B;
(c) rotacionar o vetor w=(1,-2,3) pelo ângulo \pi/4 em torno do eixo-y e dar o vetor resultante.
Informações relevantes dadas: a rotação é em torno do eixo y (logo o componente y de vetores permanece igual) e o ângulo é \theta (para a parte (c) será \theta=\pi/4). Não há outras restrições.
Passo 2
Entender como representar uma rotação em torno do eixo-y por uma matriz linear: quando rotacionamos em torno do eixo-y, o plano x\!z é o que realmente gira — a componente y fica invariável. Para um ângulo \theta a rotação age sobre as coordenadas (x,z) do seguinte modo (esta é a fórmula padrão de rotação no plano x\!z adaptada a 3D):
A segunda linha (0\\\ 1\\\ 0) indica que y'=y (o eixo y é fixo).
Nas componentes x e z aparece uma rotação semelhante à rotação 2D, combinada de forma que o resultado é uma rotação em torno do eixo y.
Essa matriz é a matriz de rotação em torno de y que usaremos — ela envia vetores colunas do sistema canônico para seus rotacionados.]
Passo 3
As colunas da matriz de rotação são justamente as imagens dos vetores da base canônica e_{1},e_{2},e_{3} pela rotação. Portanto calculamos cada u_{i}=R_{y}(\theta)e_{i} multiplicando a matriz por cada vetor base.
Multiplicando a matriz pela coluna e_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} obtemos
Explicar a relação entre matriz de rotação e matriz de mudança de base: a matriz de mudança de base [I]_{B}^{B'} que leva coordenadas em B' para coordenadas em B tem, por definição, como colunas as coordenadas dos vetores de B' em B. Aqui B'=\{u_{1},u_{2},u_{3}\}, e já calculámos \left[u_{i}\right]_{B}. Logo
Observação intuitiva: essa matriz é precisamente a matriz de rotação R_{y}(\theta) — faz sentido, porque trocar de coordenadas da base rotacionada B' para a base canônica B corresponde a aplicar a rotação aos vetores.]
Passo 5
Agora aplicamos a rotação ao vetor w=(1,-2,3) usando a mesma matriz. Primeiro escrevemos w como coluna: