Em \mathbb{R}^{3}, considere a rotação anti-horária de ângulo \theta em torno do eixo- y e B=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} a base canônica.
a) Sejam u_{1}, u_{2} e u_{3} os vetores obtidos pela rotação dos vetores e_{1}, e_{2} e e_{3}, respectivamente. Determine as coodenadas \left[u_{1}\right]_{B},\left[u_{2}\right]_{B} e \left[u_{3}\right]_{B} desses vetores na base B.
b) Se B^{\prime}=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\}, determine a matriz de mudança de base [I]_{B}^{B^{\prime}} da base B^{\prime} para a base B.
c) Determine o vetor obtido após a rotação anti-horária do vetor w=(1,-2,3) em torno do eixo-y de ângulo \pi / 4.

Passo 1

O enunciado dá uma rotação anti-horária de ângulo \theta em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo- y. A base canônica é B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}. Pede-se:
  • (a) se u_{1},u_{2},u_{3} são os vetores obtidos ao rotacionar e_{1},e_{2},e_{3} respectivamente, determinar as coordenadas \left[u_{1}\right]_{B},\left[u_{2}\right]_{B},\left[u_{3}\right]_{B};
  • (b) sendo B'=\{u_{1},u_{2},u_{3}\}, determinar a matriz de mudança de base [I]_{B}^{B'} da base B' para a base B;
  • (c) rotacionar o vetor w=(1,-2,3) pelo ângulo \pi/4 em torno do eixo- y e dar o vetor resultante.
Informações relevantes dadas: a rotação é em torno do eixo y (logo o componente y de vetores permanece igual) e o ângulo é \theta (para a parte (c) será \theta=\pi/4). Não há outras restrições.

Passo 2

Entender como representar uma rotação em torno do eixo- y por uma matriz linear: quando rotacionamos em torno do eixo- y, o plano x\!z é o que realmente gira — a componente y fica invariável. Para um ângulo \theta a rotação age sobre as coordenadas (x,z) do seguinte modo (esta é a fórmula padrão de rotação no plano x\!z adaptada a 3D):
\begin{pmatrix}x'\\\ y'\\\ z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\\ y\\\ z\end{pmatrix}.
Breve explicação desta matriz:
  • A segunda linha (0\\\ 1\\\ 0) indica que y'=y (o eixo y é fixo).
  • Nas componentes x e z aparece uma rotação semelhante à rotação 2D, combinada de forma que o resultado é uma rotação em torno do eixo y.
    Essa matriz é a matriz de rotação em torno de y que usaremos — ela envia vetores colunas do sistema canônico para seus rotacionados.]

Passo 3

As colunas da matriz de rotação são justamente as imagens dos vetores da base canônica e_{1},e_{2},e_{3} pela rotação. Portanto calculamos cada u_{i}=R_{y}(\theta)e_{i} multiplicando a matriz por cada vetor base.
Multiplicando a matriz pela coluna e_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} obtemos
u_{1}= \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta\\[4pt]0\\[4pt]-\sin\theta\end{pmatrix}.
Multiplicando pela coluna e_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} obtemos
u_{2}= \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Multiplicando pela coluna e_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} obtemos
u_{3}= \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sin\theta\\[4pt]0\\[4pt]\cos\theta\end{pmatrix}.
Portanto as coordenadas desses vetores na base canônica B são exatamente as colunas acima:
\left[u_{1}\right]_{B}=\begin{pmatrix}\cos\theta\\[4pt]0\\[4pt]-\sin\theta\end{pmatrix},\qquad \left[u_{2}\right]_{B}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \left[u_{3}\right]_{B}=\begin{pmatrix}\sin\theta\\[4pt]0\\[4pt]\cos\theta\end{pmatrix}.]

Passo 4

Explicar a relação entre matriz de rotação e matriz de mudança de base: a matriz de mudança de base [I]_{B}^{B'} que leva coordenadas em B' para coordenadas em B tem, por definição, como colunas as coordenadas dos vetores de B' em B. Aqui B'=\{u_{1},u_{2},u_{3}\}, e já calculámos \left[u_{i}\right]_{B}. Logo
[I]_{B}^{B'}= \begin{pmatrix} \left[u_{1}\right]_{B} & \left[u_{2}\right]_{B} & \left[u_{3}\right]_{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix}.
Observação intuitiva: essa matriz é precisamente a matriz de rotação R_{y}(\theta) — faz sentido, porque trocar de coordenadas da base rotacionada B' para a base canônica B corresponde a aplicar a rotação aos vetores.]

Passo 5

Agora aplicamos a rotação ao vetor w=(1,-2,3) usando a mesma matriz. Primeiro escrevemos w como coluna:
w=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
A imagem rotacionada w' = R_{y}(\theta) w é
w'= \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação em componentes:
\begin{aligned} x' &= \cos\theta\cdot 1 + 0\cdot(-2) + \sin\theta\cdot 3 = \cos\theta + 3\sin\theta,\\[4pt] y' &= 0\cdot 1 + 1\cdot(-2) + 0\cdot 3 = -2,\\[4pt] z' &= -\sin\theta\cdot 1 + 0\cdot(-2) + \cos\theta\cdot 3 = -\sin\theta + 3\cos\theta. \end{aligned}
Então, para um ângulo geral \theta,
w'=\begin{pmatrix}\cos\theta+3\sin\theta\\[4pt]-2\\[4pt]-\sin\theta+3\cos\theta\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora substituímos \theta=\pi/4 para a parte (c). Usamos \cos\!\tfrac{\pi}{4}=\sin\!\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim:
x'=\cos\!\tfrac{\pi}{4}+3\sin\!\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+3\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2},
y'=-2,
z'=-\sin\!\tfrac{\pi}{4}+3\cos\!\tfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+3\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Portanto o vetor rotacionado é
w'=\begin{pmatrix}2\sqrt{2}\\[4pt]-2\\[4pt]\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \left[u_{1}\right]_{B}=\begin{pmatrix}\cos\theta\\[4pt]0\\[4pt]-\sin\theta\end{pmatrix}
\displaystyle \left[u_{2}\right]_{B}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}
\displaystyle \left[u_{3}\right]_{B}=\begin{pmatrix}\sin\theta\\[4pt]0\\[4pt]\cos\theta\end{pmatrix}
\displaystyle [I]_{B}^{B'}=\begin{pmatrix}\cos\theta & 0 & \sin\theta\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]-\sin\theta & 0 & \cos\theta\end{pmatrix}
\displaystyle \text{Rot}_{y,\;\pi/4}(1,-2,3)=\begin{pmatrix}2\sqrt{2}\\[4pt]-2\\[4pt]\sqrt{2}\end{pmatrix}]

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