(3) (1,0) Considere T: V \longrightarrow V um operador linear.
(b) Se V=\mathbf{R}^{2} e (-3,5) é um autovetor de T associado ao autovalor 2, determine T(-3,5).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T: V \longrightarrow V com V=\mathbf{R}^{2}. É informado que o vetor (-3,5) é um autovetor de T associado ao autovalor 2. A pergunta é: determine T(-3,5).
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) }V=\mathbf{R}^{2},\qquad\text{(ii) }(-3,5)\text{ é autovetor de }T,\qquad\text{(iii) autovalor associado }=2.é

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): quando um vetor v\neq(0,0) é dito autovetor de um operador linear T associado a um autovalor \lambda, isso significa, por definição, que ao aplicar T sobre v obtemos o mesmo vetor multiplicado pelo escalar \lambda. Em fórmula:
T(v)=\lambda v.
Aqui:
  • T(v) é o vetor imagem de v pela transformação linear T;
  • \lambda é um número real (no nosso caso 2);
  • \lambda v é a multiplicação escalar: multiplicamos cada componente de v por \lambda.
Essa é a propriedade fundamental que vamos usar: não precisamos conhecer T completamente (sua matriz), basta saber que (-3,5) é autovetor com autovalor 2.

Passo 3

Aplique a definição ao caso dado: com v=(-3,5) e \lambda=2, temos
T((-3,5))=2\cdot(-3,5).
Isto já responde estruturalmente o que é T(-3,5) — é o vetor (-3,5) multiplicado por 2.

Passo 4

Agora calcule a multiplicação escalar componente a componente. Multiplicar o escalar 2 pelo vetor (-3,5) significa:
2\cdot(-3,5)=(2\cdot(-3),\;2\cdot 5).
Calcule cada produto:
2\cdot(-3)=-6,\qquad 2\cdot 5=10.
Portanto o resultado é o vetor (-6,10).

Passo 5

Verificação rápida e interpretação: T(-3,5)=(-6,10) é um vetor em \mathbf{R}^{2} colinear com (-3,5) (mesma direção), apenas esticado pelo fator 2. Isso faz sentido intuitivamente: autovetores são vetores que a transformação apenas escala, sem mudar direção (exceto talvez inverter sinal se o autovalor fosse negativo).

Resposta

(-6,10)

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