(3)
Considere
um operador linear.
(b) Se
e
é um autovetor de
associado ao autovalor 2, determine
.
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
com
. É informado que o vetor
é um autovetor de
associado ao autovalor
. A pergunta é: determine
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar): quando um vetor
é dito autovetor de um operador linear
associado a um autovalor
, isso significa, por definição, que ao aplicar
sobre
obtemos o mesmo vetor multiplicado pelo escalar
. Em fórmula:
Aqui:
-
é o vetor imagem de pela transformação linear ; -
é um número real (no nosso caso ); -
é a multiplicação escalar: multiplicamos cada componente de por .
Essa é a propriedade fundamental que vamos usar: não precisamos conhecer
completamente (sua matriz), basta saber que
é autovetor com autovalor
.
Passo 3
Aplique a definição ao caso dado: com
e
, temos
Isto já responde estruturalmente o que é
— é o vetor
multiplicado por
.
Passo 4
Agora calcule a multiplicação escalar componente a componente. Multiplicar o escalar
pelo vetor
significa:
Calcule cada produto:
Portanto o resultado é o vetor
.
Passo 5
Verificação rápida e interpretação:
é um vetor em
colinear com
(mesma direção), apenas esticado pelo fator
. Isso faz sentido intuitivamente: autovetores são vetores que a transformação apenas escala, sem mudar direção (exceto talvez inverter sinal se o autovalor fosse negativo).