Considere um tanque de água de formato ciléndrico de altura H e Área A muito grande. é feito um furo de raio bem pequeno a uma altura h<H do solo. A densidade da água é dada por \rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}.
(a) Encontre a distância do tanque em que a água toca o solo.
(b) Encontre a velocidade com que a água toca o solo.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumindo claramente o que o problema pede e o que dá):
  • Temos um tanque cilíndrico com altura \,H, (medida a partir do solo até a superfície livre da água).
  • A área da seção transversal do tanque é muito grande (ou seja, a superfície livre se move muito devagar quando a água escoa).
  • Foi feito um furo de raio muito pequeno a uma altura \,h (h<H) do solo.
  • A densidade da água é \,\rho_{\mathrm{H_2O}} (digamos que está fornecida).
  • Perguntas:
    (a) Encontre a distância horizontal a partir do tanque (isto é, a distância do ponto abaixo do furo na parede do tanque até onde o jato toca o solo) em que a água toca o solo.
    (b) Encontre a velocidade com que a água toca o solo (ou seja, a velocidade do jato no instante do impacto com o solo).

Passo 2

Assunções físicas e por que elas são razoáveis (importantíssimo antes de começar a conta):
  • A água é incompressível e o escoamento é ideal (viscosidade e perda de carga desprezíveis); isto permite usar Bernoulli entre a superfície livre e a saída do furo.
  • A pressão acima da superfície livre e imediatamente fora do furo é a pressão atmosférica; como são iguais, esses termos se cancelam na equação de Bernoulli.
  • A área do tanque é muito grande ⇒ a velocidade da superfície livre é desprezível (praticamente 0). Por isso não precisamos considerar a variação de energia cinética do fluido na superfície.
  • O furo é pequeno (jato estreito) ⇒ tratamos o jato como saindo horizontalmente com velocidade dada pela equação de Bernoulli, e depois consideramos seu movimento como um projétil lançado horizontalmente.
  • Observação sobre \rho_{\mathrm{H_2O}}: ela aparece em Bernoulli, mas vai cancelar; portanto o resultado final não depende da densidade (se a equação de Bernoulli é aplicável).

Passo 3

Encontrando a velocidade de saída do jato (aplicando Bernoulli). Vou escrever a equação e explicar termo a termo.
A equação de Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e o ponto logo fora do furo (ponto 2) é, por unidade de massa,
\frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + g z_1 \;=\; \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g z_2.
Explicando cada símbolo:
  • \,p é a pressão absoluta no ponto considerado.
  • \,\rho é a densidade do fluido ( \rho_{\mathrm{H_2O}} no enunciado).
  • \,v é a velocidade do fluido no ponto.
  • \,g é a aceleração da gravidade.
  • \,z é a altura do ponto em relação ao solo (escolhemos z medido a partir do solo).
Agora aplicamos aos pontos:
  • No ponto 1 (superfície livre): p_1 = p_{\text{atm}}, v_1 \approx 0, z_1 = H.
  • No ponto 2 (logo fora do furo): p_2 = p_{\text{atm}}, v_2 = v (o que queremos), z_2 = h.
Substituindo e cancelando p_{\text{atm}}/\rho dos dois lados:
0 + 0 + gH \;=\; 0 + \frac{v^2}{2} + gh.
Rearranjando:
\frac{v^2}{2} = g(H-h).
Portanto
v \;=\; \sqrt{2g(H-h)}.
Aqui \,v é a velocidade horizontal inicial do jato ao sair do furo; explicando: \,H-h é a diferença de altura entre a superfície livre e o furo — é essa “queda” disponível que transforma energia potencial em velocidade do jato (Torricelli).

Passo 4

Movimento do jato depois de sair do furo — tratamento como projétil (cinemática):
Ao sair, assumimos que o jato tem velocidade horizontal \,v_x(0)=v=\sqrt{2g(H-h)} e velocidade vertical inicial \,v_y(0)=0. A altura inicial em relação ao solo é \,h.
A equação vertical do movimento (escolhendo para cima sentido positivo) é
y(t)=h - \tfrac{1}{2} g t^2.
O jato atinge o solo quando y(t)=0, então
0 = h - \tfrac{1}{2} g t^2 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2} g t^2 = h.
Daí o tempo de queda até o impacto é
t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.
Expliquei: essa fórmula vem da equação do movimento uniformemente acelerado na direção vertical; não envolve a velocidade horizontal.

Passo 5

Distância horizontal percorrida até o impacto (resposta do item (a)):
A componente horizontal da velocidade é constante (não há aceleração horizontal), então a distância horizontal x é
x = v_x(0)\, t = \sqrt{2g(H-h)} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}.
Agora simplificamos multiplicando as raízes:
x = \sqrt{2g(H-h)}\;\sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{ \frac{4g}{g}\; h (H-h) } = 2\sqrt{h(H-h)}.
Portanto a água toca o solo a uma distância horizontal
\boxed{\,x = 2\sqrt{\,h(H-h)\,}\,}
medida a partir da vertical passando pelo furo (ou pelo pé do tanque, dependendo de como quiser medir — aqui é a distância horizontal desde o pé do furo).

Passo 6

Velocidade com que a água toca o solo (resposta do item (b)) — componentes e magnitude:
No instante do impacto:
  • A componente horizontal permanece
v_x = \sqrt{2g(H-h)}.
  • A componente vertical (para baixo) é obtida por v_y = v_y(0) - g t. Como v_y(0)=0 e t=\sqrt{2h/g},
v_y = -g\sqrt{\frac{2h}{g}} = -\sqrt{2 g h}.
(O sinal negativo indica direção para baixo.)
A magnitude da velocidade é
\|v\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{2g(H-h) + 2g h} = \sqrt{2gH}.
Observação física interessante: a velocidade de impacto depende apenas de H (a altura da superfície livre em relação ao solo) e de g; não depende de h. Isso reflete a conservação de energia: a partícula de água que sai do furo acaba com a mesma energia cinética que teria caído livremente desde a superfície livre até o solo.

Passo 7

Checagem de unidades e comentários finais (curiosidades e dicas para prova):
  • Unidade da distância x: as unidades de \sqrt{h(H-h)} são metros, logo x tem dimensão de comprimento — ok.
  • Unidade da velocidade \sqrt{2gH}: [g]=\mathrm{m/s^2} e [H]=\mathrm{m} [v]=\mathrm{m/s} — ok.
  • Dica de prova: explique as suposições (tanque grande ⇒ v_{\text{superfície}}\approx0í; furo pequeno ⇒ jato horizontal) e mostre Bernoulli rapidamente. A propriedade de independência de h para a velocidade de impacto é um ponto que costuma cair em prova como “surpresa” — destaque isso.
  • Você consegue! Respira, organiza o raciocínio: Bernoulli para velocidade de saída, depois cinemática para alcance e para a velocidade de impacto.

Resposta

\displaystyle x = 2\sqrt{\,h(H-h)\,}
\displaystyle \|v_{\text{impacto}}\| = \sqrt{2gH}

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