Considere um tanque de água de formato ciléndrico de altura
e Área
muito grande. é feito um furo de raio bem pequeno a uma altura
do solo. A densidade da água é dada por
.
(a) Encontre a distância do tanque em que a água toca o solo.
(b) Encontre a velocidade com que a água toca o solo.
(a) Encontre a distância do tanque em que a água toca o solo.
(b) Encontre a velocidade com que a água toca o solo.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (resumindo claramente o que o problema pede e o que dá):
- Temos um tanque cilíndrico com altura
, (medida a partir do solo até a superfície livre da água). - A área da seção transversal do tanque é muito grande (ou seja, a superfície livre se move muito devagar quando a água escoa).
- Foi feito um furo de raio muito pequeno a uma altura
do solo. - A densidade da água é
(digamos que está fornecida). - Perguntas:
(a) Encontre a distância horizontal a partir do tanque (isto é, a distância do ponto abaixo do furo na parede do tanque até onde o jato toca o solo) em que a água toca o solo.
(b) Encontre a velocidade com que a água toca o solo (ou seja, a velocidade do jato no instante do impacto com o solo).
Passo 2
Assunções físicas e por que elas são razoáveis (importantíssimo antes de começar a conta):
- A água é incompressível e o escoamento é ideal (viscosidade e perda de carga desprezíveis); isto permite usar Bernoulli entre a superfície livre e a saída do furo.
- A pressão acima da superfície livre e imediatamente fora do furo é a pressão atmosférica; como são iguais, esses termos se cancelam na equação de Bernoulli.
- A área do tanque é muito grande ⇒ a velocidade da superfície livre é desprezível (praticamente
). Por isso não precisamos considerar a variação de energia cinética do fluido na superfície. - O furo é pequeno (jato estreito) ⇒ tratamos o jato como saindo horizontalmente com velocidade dada pela equação de Bernoulli, e depois consideramos seu movimento como um projétil lançado horizontalmente.
- Observação sobre
: ela aparece em Bernoulli, mas vai cancelar; portanto o resultado final não depende da densidade (se a equação de Bernoulli é aplicável).
Passo 3
Encontrando a velocidade de saída do jato (aplicando Bernoulli). Vou escrever a equação e explicar termo a termo.
A equação de Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e o ponto logo fora do furo (ponto 2) é, por unidade de massa,
Explicando cada símbolo:
-
é a pressão absoluta no ponto considerado. -
é a densidade do fluido ( no enunciado). -
é a velocidade do fluido no ponto. -
é a aceleração da gravidade. -
é a altura do ponto em relação ao solo (escolhemos medido a partir do solo).
Agora aplicamos aos pontos:
- No ponto 1 (superfície livre):
, , . - No ponto 2 (logo fora do furo):
, (o que queremos), .
Substituindo e cancelando
dos dois lados:
Rearranjando:
Portanto
Aqui
é a velocidade horizontal inicial do jato ao sair do furo; explicando:
é a diferença de altura entre a superfície livre e o furo — é essa “queda” disponível que transforma energia potencial em velocidade do jato (Torricelli).
Passo 4
Movimento do jato depois de sair do furo — tratamento como projétil (cinemática):
Ao sair, assumimos que o jato tem velocidade horizontal
e velocidade vertical inicial
. A altura inicial em relação ao solo é
.
A equação vertical do movimento (escolhendo para cima sentido positivo) é
O jato atinge o solo quando
, então
Daí o tempo de queda até o impacto é
Expliquei: essa fórmula vem da equação do movimento uniformemente acelerado na direção vertical; não envolve a velocidade horizontal.
Passo 5
Distância horizontal percorrida até o impacto (resposta do item (a)):
A componente horizontal da velocidade é constante (não há aceleração horizontal), então a distância horizontal
é
Agora simplificamos multiplicando as raízes:
Portanto a água toca o solo a uma distância horizontal
medida a partir da vertical passando pelo furo (ou pelo pé do tanque, dependendo de como quiser medir — aqui é a distância horizontal desde o pé do furo).
Passo 6
Velocidade com que a água toca o solo (resposta do item (b)) — componentes e magnitude:
No instante do impacto:
- A componente horizontal permanece
- A componente vertical (para baixo) é obtida por
. Como e ,
(O sinal negativo indica direção para baixo.)
A magnitude da velocidade é
Observação física interessante: a velocidade de impacto depende apenas de
(a altura da superfície livre em relação ao solo) e de
; não depende de
. Isso reflete a conservação de energia: a partícula de água que sai do furo acaba com a mesma energia cinética que teria caído livremente desde a superfície livre até o solo.
Passo 7
Checagem de unidades e comentários finais (curiosidades e dicas para prova):
- Unidade da distância
: as unidades de são metros, logo tem dimensão de comprimento — ok. - Unidade da velocidade
: e ⇒ — ok. - Dica de prova: explique as suposições (tanque grande ⇒
; furo pequeno ⇒ jato horizontal) e mostre Bernoulli rapidamente. A propriedade de independência de para a velocidade de impacto é um ponto que costuma cair em prova como “surpresa” — destaque isso. - Você consegue! Respira, organiza o raciocínio: Bernoulli para velocidade de saída, depois cinemática para alcance e para a velocidade de impacto.