Considere um recipiente contendo um fluido de densidade \rho. Encontre a pressāo a uma profundidade h nos casos a seguir e seu gráfico como função de h :
O recipiente é acelerado para baixo com aceleração em módulo a.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a pressão a uma profundidade h dentro de um fluido de densidade \rho quando o recipiente inteiro está sendo acelerado para baixo com aceleração de módulo a, e (2) desenhar/escrever o gráfico dessa pressão em função de h.\n
Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo que o enunciado fornece ou que é normalmente assumido):
\text{densidade do fluido}=\rho,\qquad \text{profundidade medida desde a superfície}=h,í
\text{o recipiente é acelerado para baixo com aceleração de módulo }a.éçãó
Vou assumir que a superfície livre do fluido está em contato com a atmosfera (pressão de superfície p_0) — se estivesse fechado, o valor de p_0 mudaria, mas a dependência com h é a mesma. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro vamos fixar convenções e entender o que é pedido com calma: \n
  • Defino h como a distância vertical medida para baixo a partir da superfície livre do líquido (logo h=0 é a superfície). \n
  • Denoto a pressão na superfície por p_0 (normalmente a pressão atmosférica). \n
  • Quero achar a função p(h), a pressão a essa profundidade h. \n
    Antes de calcular, é útil revisar o princípio físico que governa a variação de pressão com profundidade.

Passo 3

Aula rápida e concreta sobre pressão em fluidos: \n
  • Em repouso, a lei fundamental é que a diferença de pressão entre dois pontos verticalmente separados por \Delta h é igual ao peso da coluna de fluido entre esses pontos por unidade de área. Isso dá a famosa fórmula:
p(h)=p_0+\rho g h,
onde g é a aceleração da gravidade. Aqui \rho é a massa por unidade de volume do fluido; g é a aceleração que faz o fluido “pesar” para baixo; h é a profundidade. \n
  • Quando o recipiente é acelerado, o fluido não está em um referencial inercial. Uma forma simples e poderosa de tratar isso é trabalhar no referencial acelerado solidário ao recipiente e incluir a força fictícia (inercial) que age sobre cada massa do fluido. Essa força fictícia por unidade de massa tem direção oposta à aceleração do referencial. Se o recipiente acelera para baixo com a, a força fictícia por unidade de massa aponta para cima com intensidade a. \n
  • Portanto, no referencial acelerado há uma “gravidade efetiva” que é a soma das acelerações reais e fictícias. Como a força real por unidade de massa é g para baixo e a força fictícia é a para cima, a aceleração efetiva para baixo é:
g_{\text{ef}}=g-a.
Isto significa que, dentro do referencial acelerado, o problema se reduz a um problema hydrostático normal, mas com g substituído por g_{\text{ef}}.

Passo 4

Derivação detalhada por balanço de forças (passo-a-passo matemático): \n
Considere uma pequena prancha cilíndrica de fluido com área de seção transversal A e altura \Delta h, situada com a face superior na profundidade h e a face inferior em h+\Delta h. As forças verticais sobre esse cilindro, no referencial acelerado, são:\n
  • Força de pressão na face inferior (mais profunda): p(h+\Delta h)\,A para cima.\n
  • Força de pressão na face superior: p(h)\,A para baixo.\n
  • Peso real do fluido (para baixo): \rho A \Delta h\, g.\n
  • Força fictícia (inercial) no referencial acelerado: por unidade de massa ela vale -a (sinal negativo porque aponta para cima), então a força total fictícia sobre o volume é -\rho A \Delta h\, a (isto é, uma força para cima de módulo \rho A \Delta h\, a).\n
    No estado pseudo-equilíbrio (referencial acelerado, sem aceleração relativa entre as camadas do fluido), a soma das forças deve ser zero. Somando as contribuições com sinais consistentes (para cima positivo):
p(h+\Delta h)A - p(h)A - \rho A\Delta h\, g + \underbrace{\rho A\Delta h\, a}_{\text{força fictícia para cima}} = 0.çí
Reagrupando e dividindo por A:
p(h+\Delta h)-p(h) = \rho (g-a)\,\Delta h.
Tomando o limite \Delta h\to 0 obtemos a equação diferencial:
\frac{dp}{dh} = \rho (g-a).
Observe que aqui usamos h medido para baixo, por isso não aparece sinal negativo confuso — a derivada é com respeito ao aumento de profundidade.

Passo 5

Agora integramos a equação diferencial para achar p(h). Integrando de h=0 (superfície) onde p(0)=p_0 até profundidade h:
\int_{p_0}^{p(h)} dp = \int_{0}^{h} \rho (g-a)\, dh'.
Como \rho e (g-a) são constantes (assumindo fluido incompressível e aceleração constante), a integração dá:
p(h)-p_0 = \rho (g-a) h.
Portanto a expressão final para a pressão a profundidade h é
\boxed{p(h)=p_0+\rho (g-a)\,h.}

Passo 6

Interpretações físicas e casos especiais (muito útil para a prova): \n
  • Se \,a=0 (recipiente em repouso), recuperamos a fórmula usual p=p_0+\rho g h. \n
  • Se \,0<a<g, então g-a>0 e a pressão aumenta com a profundidade, porém com declive menor do que no caso em repouso: a aceleração para baixo “alivia” parte do peso aparente do fluido. \n
  • Se \,a=g, então g-a=0 e a pressão é independente da profundidade: p(h)=p_0. Fisicamente, para a=g o fluido “está em queda livre” e todas as partes caem juntas, não havendo variação de pressão com profundidade (a superfície livre perde seu papel). \n
  • Se \,a>g, então g-a<0 e a fórmula prevê que a pressão diminui com a profundidade (inclinação negativa). Na prática, isso indica que a aproximação de fluido contínuo com superfície livre única pode falhar: surgem cavidades ou separação do fluido da parede superior. Mas matematicamente a dependência é linear com inclinação negativa.

Passo 7

Gráfico de p(h) em função de h: \n
  • A função é uma reta afim:
p(h)=p_0+\rho (g-a)\,h.
  • Intercepto em h=0: p(0)=p_0. \n
  • Inclinação (coeficiente angular) da reta: \rho (g-a). \n
    Assim o gráfico é uma linha reta que parte de p_0 em h=0 e cresce, fica constante ou decresce conforme \rho(g-a) seja positivo, nulo ou negativo, respectivamente. \n
    Exemplo numérico para intuir: se \rho=1000\\ \text{kg}\,\text{m}^{-3}, g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 e a=2\\ \text{m/s}^2, então a inclinação é \rho(g-a)=1000\cdot 7{,}8=7{,}800\\ \text{Pa/m}, ou seja, a cada metro de profundidade a pressão aumenta em 7{,}800\\ \text{Pa}.

Resposta

p(h)=p_0+\rho (g-a)\,h\n
Gráfico: reta passando por (0,p_0) com inclinação \rho (g-a); cresce com h se g-a>0, é constante se g-a=0 e decresce se g-a<0.

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