Considere que a taxa de juros do financiamento seja de 10% ao ano e a taxa de juros do reinvestimento seja de 14% ao ano para um projeto com investimentos anuais iguais a X nos anos 0 e 1 (saídas de caixa), seguidos de lucros liquidos iguais a \mathrm{R} \ 3.000 .000,00$ nos anos 2 a 11 (entradas de caixa). Obtenha para esse projeto a taxa interna de retorno modificada, também conhecida como taxa externa de retorno.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos saídas de caixa de valor X nos anos 0 e 1, e entradas de caixa de \mathrm{R}\$3\,000\,000 nos anos 2 a 11. A taxa de financiamento (custo dos recursos) é de 10\% ao ano e a taxa de reinvestimento dos fluxos positivos é de 14\% ao ano. O conteúdo é a Taxa Interna de Retorno Modificada (MIRR ou taxa externa de retorno), que se obtém pelo fator de acumulação dos recebimentos à taxa de reinvestimento e pelo fator de desconto dos desembolsos à taxa de financiamento.

Passo 2

Calculamos o valor presente dos desembolsos \mathrm{PV}_- à taxa de financiamento de 10\%:
\mathrm{PV}_- \;=\; X + \frac{X}{1,10}\;=\; X\Bigl(1 + \tfrac{1}{1,10}\Bigr)\;=\; X\cdot1{,}90909.

Passo 3

Calculamos o valor futuro dos recebimentos \mathrm{FV}_+ acumulados até o ano 11 à taxa de reinvestimento de 14\%. Cada fluxo de 3\,000\,000 no ano t (para t=2,\dots,11) acumula por (11 - t) períodos:
\mathrm{FV}_+ \;=\; 3\,000\,000\;\sum_{t=2}^{11}(1,14)^{11-t} \;=\;3\,000\,000\;\frac{(1,14)^{10}-1}{1,14-1} \;=\;3\,000\,000\;\frac{(1,14)^{10}-1}{0,14}.

Passo 4

A MIRR é a taxa \mathrm{m} que equaliza esses dois valores no horizonte de 11 anos segundo a fórmula
\mathrm{MIRR} \;=\;\Bigl(\frac{\mathrm{FV}_+}{\mathrm{PV}_-}\Bigr)^{\frac{1}{11}} - 1.

Passo 5

Substituindo \mathrm{FV}_+ e \mathrm{PV}_- na fórmula da MIRR, obtemos
\mathrm{MIRR} = \left( \frac{3\,000\,000\;\displaystyle\frac{(1,14)^{10}-1}{0,14}} {X\cdot1,90909} \right)^{\frac{1}{11}} - 1.

Resposta

\mathrm{MIRR} = \left( \frac{3\,000\,000\;\bigl[(1,14)^{10}-1\bigr]/0,14} {1,90909\,X} \right)^{1/11} \;-\;1.

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