Mostre que a energia potencial de um dipolo elétrico é dada pela equação abaixo:
U=-(\vec{p} \cdot \vec{E})

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a energia potencial de um dipolo elétrico é dada por
U=-(\vec{p}\cdot\vec{E}).
Informações dadas (diretas ou que assumiremos porque descrevem um dipolo em um campo uniforme):
\text{– existe um dipolo elétrico formado por cargas }+q\text{ e }-q\text{ separadas por um vetor } \vec{d};é
\text{– definimos o momento de dipolo como } \vec{p}=q\vec{d};
\text{– o dipolo está sujeito a um campo elétrico uniforme } \vec{E};áé
\text{– o ângulo entre } \vec{p} \text{ e } \vec{E} \text{ é } \theta.âé
Nada mais será assumido sem explicação; a resolução começará no próximo passo.

Passo 2

Vou definir e explicar os conceitos que vamos usar (muito práticos na prova).
Definição de momento de dipolo:
\vec{p}=q\vec{d},
onde \vec{d} é o vetor que vai da carga negativa para a positiva e q é o módulo da carga. O vetor \vec{p} tem direção e sentido do negativo para o positivo.
Forças nas cargas (campo uniforme):
\vec{F}_+ = q\vec{E},\qquad \vec{F}_- = -q\vec{E}.
Produto escalar (dot product): para dois vetores \vec{a} e \vec{b},
\vec{a}\cdot\vec{b}=ab\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre eles. Assim
\vec{p}\cdot\vec{E}=pE\cos\theta.
Produto vetorial (cross product): para torque vamos usar \vec{r}\times\vec{F} e suas propriedades; magnitude |\vec{a}\times\vec{b}|=ab\sin\varphi.

Passo 3

Calcular o torque que o campo elétrico exerce sobre o dipolo (essa é uma derivação curta e útil para a prova).
Escolhemos o centro do dipolo como origem, assim as posições das cargas são
\vec{r}_+ = \tfrac{1}{2}\vec{d},\qquad \vec{r}_- = -\tfrac{1}{2}\vec{d}.
O torque total em relação ao centro é
\vec{\tau} = \vec{r}_+ \times \vec{F}_+ + \vec{r}_- \times \vec{F}_-.
Substituindo \vec{F}_\pm:
\vec{\tau} = \tfrac{1}{2}\vec{d}\times(q\vec{E}) + \big(-\tfrac{1}{2}\vec{d}\big)\times(-q\vec{E}).
As duas parcelas são iguais, então
\vec{\tau} = q\vec{d}\times\vec{E} = \vec{p}\times\vec{E}.
Portanto o torque do campo sobre o dipolo é
\vec{\tau}=\vec{p}\times\vec{E},
com magnitude
\tau = pE\sin\theta.
Intuição: esse torque tende a girar o dipolo de modo que \vec{p} fique alinhado com \vec{E}.

Passo 4

Relacionar torque com trabalho infinitesimal e com a variação da energia potencial.
Conceito de trabalho/energia potencial: se uma força/torque de campo realiza trabalho, a energia potencial do sistema muda. Em rotações, a variação infinitesimal da energia potencial dU quando o dipolo gira de \theta para \theta+d\theta é igual ao trabalho feito pelo agente externo que mantém o processo quasistático. Esse trabalho infinitesimal do agente externo é o negativo do trabalho realizado pelo torque do campo (porque o agente externo precisa contrariar o torque do campo se quiser girar lentamente). Assim:
dU = \delta W_{\text{ext}} = -\delta W_{\text{campo}}.
O trabalho infinitesimal realizado pelo torque do campo ao causar uma pequena rotação d\theta (utilizando magnitudes e o fato de que torque tende a reduzir \theta quando 0<\theta<\pi) é
\delta W_{\text{campo}} = \tau\,d\theta = pE\sin\theta\,d\theta.
Portanto
dU = -pE\sin\theta\,d\theta.

Passo 5

Integrar para obter a energia potencial como função do ângulo \theta.
Integramos a expressão para dU:
\int dU = -pE\int \sin\theta\,d\theta.
A primitiva de \sin\theta é -\cos\theta, então
U(\theta) = -pE(-\cos\theta) + C = -pE\cos\theta + C,
onde C é uma constante de integração (referência de energia).

Passo 6

Escolher a referência (constante C) e escrever em forma vetorial.
Uma escolha comum e conveniente (muito usada em provas) é adotar U=0 quando \theta=\tfrac{\pi}{2} (isto é, quando \vec{p} é perpendicular a \vec{E}). Para \theta=\tfrac{\pi}{2} temos \cos\theta=0, o que dá C=0. Com essa escolha:
U(\theta) = -pE\cos\theta.
Usando a definição do produto escalar,
\vec{p}\cdot\vec{E}=pE\cos\theta,
então podemos escrever a expressão final de forma vetorial:
U = -(\vec{p}\cdot\vec{E}).

Passo 7

Interpretação física rápida e exemplos numéricos simples para fixar:
  • Se \theta=0 (vetores alinhados), \cos 0=1 e U=-pE: energia mínima — configuração estável.
  • Se \theta=\pi (anti-alinhados), \cos\pi=-1 e U=+pE: energia máxima — configuração instável.
  • Se \theta=\tfrac{\pi}{2}, U=0 pela nossa escolha de referência.
Pronto — agora você tem a derivação passo a passo e a intuição do porquê do sinal negativo: o campo tende a alinhar \vec{p} com \vec{E}, e essa configuração alinhada corresponde à menor energia potencial.

Resposta

U=-(\vec{p}\cdot\vec{E})

Exercícios relacionados