Mostre que a energia potencial de um dipolo elétrico é dada pela equação abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a energia potencial de um dipolo elétrico é dada por
Informações dadas (diretas ou que assumiremos porque descrevem um dipolo em um campo uniforme):
Nada mais será assumido sem explicação; a resolução começará no próximo passo.
Passo 2
Vou definir e explicar os conceitos que vamos usar (muito práticos na prova).
Definição de momento de dipolo:
onde
é o vetor que vai da carga negativa para a positiva e
é o módulo da carga. O vetor
tem direção e sentido do negativo para o positivo.
Forças nas cargas (campo uniforme):
Produto escalar (dot product): para dois vetores
e
,
onde
é o ângulo entre eles. Assim
Produto vetorial (cross product): para torque vamos usar
e suas propriedades; magnitude
.
Passo 3
Calcular o torque que o campo elétrico exerce sobre o dipolo (essa é uma derivação curta e útil para a prova).
Escolhemos o centro do dipolo como origem, assim as posições das cargas são
O torque total em relação ao centro é
Substituindo
:
As duas parcelas são iguais, então
Portanto o torque do campo sobre o dipolo é
com magnitude
Intuição: esse torque tende a girar o dipolo de modo que
fique alinhado com
.
Passo 4
Relacionar torque com trabalho infinitesimal e com a variação da energia potencial.
Conceito de trabalho/energia potencial: se uma força/torque de campo realiza trabalho, a energia potencial do sistema muda. Em rotações, a variação infinitesimal da energia potencial
quando o dipolo gira de
para
é igual ao trabalho feito pelo agente externo que mantém o processo quasistático. Esse trabalho infinitesimal do agente externo é o negativo do trabalho realizado pelo torque do campo (porque o agente externo precisa contrariar o torque do campo se quiser girar lentamente). Assim:
O trabalho infinitesimal realizado pelo torque do campo ao causar uma pequena rotação
(utilizando magnitudes e o fato de que torque tende a reduzir
quando
) é
Portanto
Passo 5
Integrar para obter a energia potencial como função do ângulo
.
Integramos a expressão para
:
A primitiva de
é
, então
onde
é uma constante de integração (referência de energia).
Passo 6
Escolher a referência (constante
) e escrever em forma vetorial.
Uma escolha comum e conveniente (muito usada em provas) é adotar
quando
(isto é, quando
é perpendicular a
). Para
temos
, o que dá
. Com essa escolha:
Usando a definição do produto escalar,
então podemos escrever a expressão final de forma vetorial:
Passo 7
Interpretação física rápida e exemplos numéricos simples para fixar:
- Se
(vetores alinhados), e : energia mínima — configuração estável. - Se
(anti-alinhados), e : energia máxima — configuração instável. - Se
, pela nossa escolha de referência.
Pronto — agora você tem a derivação passo a passo e a intuição do porquê do sinal negativo: o campo tende a alinhar
com
, e essa configuração alinhada corresponde à menor energia potencial.