Considere o teste de hipótese H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2} contra H_{1}: \mu_{1}<\mu_{2}. Suponha que os tamanhos de amostra sejam n_{1}=15 e n_{2}=15, que \overline{x_{1}}=6,2 e \overline{x_{2}}=7,8 e que s_{1}^{2}=4 e s_{2}^{2}=6,25. Considere que \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} e que os dados sejam retirados de distribuições normais. Use \alpha=0,05.
a) Teste a hipótese e encontre 0 valor P
b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de confiança.

Passo 1

O enunciado pede que testemos H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2} contra H_{1}:\mu_{1}<\mu_{2} com nível de significância \alpha=0,05. Os dados fornecidos são:
  • tamanhos das amostras: n_{1}=15 e n_{2}=15;
  • médias amostrais: \overline{x}_{1}=6{,}2 e \overline{x}_{2}=7{,}8;
  • variâncias amostrais: s_{1}^{2}=4 e s_{2}^{2}=6{,}25.
Além disso, foi assumido que \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} (variâncias populacionais iguais) e que os dados vêm de distribuições normais.
As tarefas pedidas são:
(a) realizar o teste e encontrar o valor-p;
(b) explicar como conduzir o mesmo teste usando um intervalo de confiança.

Passo 2

Escolha do teste e fórmula: como as variâncias populacionais são assumidas iguais, usamos o teste t de duas amostras com variâncias agrupadas (pooled). Isso usa a estimativa combinada da variância populacional, chamada variância agrupada s_{p}^{2}, definida por
s_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}.
Aqui (n_{i}-1)s_{i}^{2} são as somas de quadrados amostrais; dividir por n_{1}+n_{2}-2 dá uma estimativa não viciada da variância comum. As demais quantidades:
  • desvio-padrão agrupado s_{p}=\sqrt{s_{p}^{2}};
  • erro padrão da diferença das médias \mathrm{SE} = s_{p}\sqrt{\dfrac{1}{n_{1}}+\dfrac{1}{n_{2}}};
  • estatística de teste
t=\frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}}{\mathrm{SE}}.
Os graus de liberdade são n_{1}+n_{2}-2.
Agora calculamos passo a passo com os números dados.

Passo 3

Calcular s_{p}^{2} e s_{p}:
s_{p}^{2}=\frac{(15-1)\cdot 4+(15-1)\cdot 6{,}25}{15+15-2} =\frac{14\cdot 4 + 14\cdot 6{,}25}{28} =\frac{56 + 87{,}5}{28} =\frac{143{,}5}{28}=5{,}125.
s_{p}=\sqrt{5{,}125}\approx 2{,}26378.
Calcular o erro padrão da diferença das médias:
\mathrm{SE}=s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}} =2{,}26378\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{15}} =2{,}26378\sqrt{\frac{2}{15}}.
\sqrt{\frac{2}{15}}\approx 0{,}365148\quad\Rightarrow\quad \mathrm{SE}\approx 2{,}26378\times 0{,}365148\approx 0{,}82639.
Calcular a estatística t:
t=\frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}}{\mathrm{SE}} =\frac{6{,}2-7{,}8}{0{,}82639} =\frac{-1{,}6}{0{,}82639}\approx -1{,}9365.
Graus de liberdade: df=n_{1}+n_{2}-2=28.
Decisão pelo valor crítico: para teste unilateral à esquerda com \alpha=0{,}05, o valor crítico é t_{0{,}05,\,28} (quantil tal que área à esquerda é 0{,}05), que corresponde ao negativo de t_{0{,}95,\,28}. Usando tabela, t_{0{,}95,\,28}\approx 1{,}701, então o valor crítico é aproximadamente -1{,}701. Como t_{\text{obs}}\approx -1{,}9365 < -1{,}701, a estatística cai na região crítica. Conclusão: rejeita-se H_{0} ao nível \alpha=0{,}05.

Passo 4

Cálculo do valor-p (p-value): o valor-p para um teste unilateral à esquerda é
\text{p-valor}=P\big(T_{28}\le t_{\text{obs}}\big).
Com t_{\text{obs}}\approx -1{,}9365 e df=28, consultando tabela da t de Student ou usando software, obtém-se aproximadamente
\text{p-valor}\approx 0{,}032.
Interpretação: é a probabilidade, sob H_{0}, de observar uma diferença amostral tão negativa ou mais do que a observada. Como \text{p-valor}\approx 0{,}032<\alpha=0{,}05, rejeitamos H_{0} e concluímos evidência a favor de H_{1}:\mu_{1}<\mu_{2}.
Observação prática: se só tiver tabela da t com quantis positivos, pode consultar P(T_{28}\ge 1{,}9365) e notar que é o mesmo número; ou usar cálculo numérico para maior precisão.

Passo 5

Como fazer o teste por intervalo de confiança (ideia e cálculo): a relação entre teste unilateral e intervalo é: para testar H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2} contra H_{1}:\mu_{1}<\mu_{2} com nível \alpha, constrói-se um limite superior unilateral de confiança para \mu_{1}-\mu_{2} com nível 1-\alpha (aqui 95\%). Se esse limite superior for menor que 0, rejeita-se H_{0}.
Fórmula do limite superior (usando variância agrupada):
\text{limite superior}=(\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2})+t_{1-\alpha,\,df}\cdot \mathrm{SE},
onde t_{1-\alpha,\,df} é o quantil positivo tal que P(T_{df}\le t_{1-\alpha,\,df})=1-\alpha. Aqui t_{0{,}95,\,28}\approx 1{,}701.
Calculemos:
\text{limite superior}=-1{,}6 + 1{,}701\times 0{,}82639\approx -1{,}6 + 1{,}405\approx -0{,}195.
Como o limite superior é aproximadamente -0{,}195<0, concluímos novamente (pelo método do intervalo) que há evidência, ao nível 0{,}05, de que \mu_{1}<\mu_{2}.
Comentário adicional (equivalência prática): também é comum usar um intervalo bilateral de 100(1-2\alpha)\% (aqui 90\%) e verificar se 0 está fora desse intervalo; se o limite superior do intervalo de 90\% for menor que 0, isso equivale ao teste unilateral de nível 0{,}05.

Resposta

(a) Rejeita-se H_{0} ao nível \alpha=0{,}05. Estatística t\approx -1{,}9365, df=28. \text{p-valor}\approx 0{,}032.
(b) Construir um limite superior unilateral de 95\% para \mu_{1}-\mu_{2}: \text{limite superior}\approx -0{,}195. Como esse limite é <0, rejeita-se H_{0} (mesma conclusão do teste).

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