QUANTAS RODAS DE CIRANDAS PODEM SER FORMADAS POR 5 MENINOS E 5 MENINAS, TAL QUE
A - TRÊS DAS MENINAS FIQUEM SEMPRE JUNTAS

Passo 1

O enunciado dá: existem 5 meninos e 5 meninas (total de 10 crianças) e pede o número de arranjos em roda (ciranda) tais que três das meninas fiquem sempre juntas.
Interpretação/assunção que vou usar (não posso perguntar): vou entender que existe um conjunto específico de três meninas que devem ficar sempre juntas (por exemplo, as meninas A,B,C). Essa é a interpretação usual desse tipo de problema. Se a intenção fosse “escolher quaisquer 3 das 5 que fiquem juntas”, haveria um fator extra de combinação; eu explico isso no final caso você precise.
Resumo das informações relevantes:
  • Número total de pessoas: 10.
  • Pessoas todas distintas.
  • Condição: um trio específico de meninas permanece juntas (formando um bloco contíguo).

Passo 2

Explicando um conceito essencial: permutações em círculo.
  • Quando arrumamos n pessoas em volta de uma mesa/roda, arranjos que são apenas rotações uns dos outros são considerados iguais (porque não há “cadeira 1” fixa). Por isso o número de maneiras é
(n-1)!
em vez de n!. Exemplo pequeno para sentir a ideia: para 3 pessoas distintas na roda, as permutações lineares seriam 3!=6, mas todas as rotações colapsam em (3-1)!=2 disposições distintas, que é o número correto ao contar só a ordem relativa.

Passo 3

Usando o método do bloco (técnica padrão para “sempre juntos”).
  • Se as três meninas devem ficar juntas, podemos tratá-las como se formassem uma única “super-pessoa” (um bloco). Esse bloco ocupa um lugar na roda e, além dele, temos as outras pessoas.
  • Contando unidades agora: temos o bloco (1), as outras 2 meninas (porque 5-3=2) e os 5 meninos. Então o número de unidades distintas a serem arranjadas em círculo é
1 + 2 + 5 = 8.

Passo 4

Contando as posições do bloco e dos demais em círculo.
  • Arranjar 8 unidades distintas em roda dá
(8-1)! = 7!.
  • Vou calcular 7! passo a passo para ficar claro: 7! = 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 5040.

Passo 5

Contando as permutações internas do bloco.
  • Dentro do bloco as 3 meninas podem se ordenar de todas as formas possíveis entre si; como são distintas, isso dá
3! = 6
maneiras internas.

Passo 6

Combinação dos dois fatores (posição do bloco na roda × ordem interna do bloco).
  • Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos que satisfazem a condição é
7! \times 3!.
  • Substituindo os valores já calculados:
5040 \times 6 = 30240.

Passo 7

Observação sobre simetrias adicionais (para não errar na prova):
  • Aqui considerei que apenas rotações produzem arranjos equivalentes (o que é o padrão para “rodas”/“mesas”/“cirandas”). Não dividi por 2 para reflexões porque, em geral, refletir a ordem (trocar sentido horário/anti-horário) produz uma ordem diferente quando as pessoas são distintas e a orientação importa. Se o problema explicitamente dissesse que arranjos que são reflexos também são iguais (caso raro), seria preciso dividir por 2. Como não disse, não dividi.

Resposta

\,30240\,

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