QUANTAS RODAS DE CIRANDAS PODEM SER FORMADAS POR 5 MENINOS E 5 MENINAS, TAL QUE
A - TRÊS DAS MENINAS FIQUEM SEMPRE JUNTAS
A - TRÊS DAS MENINAS FIQUEM SEMPRE JUNTAS
Passo 1
O enunciado dá: existem
meninos e
meninas (total de
crianças) e pede o número de arranjos em roda (ciranda) tais que três das meninas fiquem sempre juntas.
Interpretação/assunção que vou usar (não posso perguntar): vou entender que existe um conjunto específico de três meninas que devem ficar sempre juntas (por exemplo, as meninas
). Essa é a interpretação usual desse tipo de problema. Se a intenção fosse “escolher quaisquer
das
que fiquem juntas”, haveria um fator extra de combinação; eu explico isso no final caso você precise.
Resumo das informações relevantes:
- Número total de pessoas:
. - Pessoas todas distintas.
- Condição: um trio específico de meninas permanece juntas (formando um bloco contíguo).
Passo 2
Explicando um conceito essencial: permutações em círculo.
- Quando arrumamos
pessoas em volta de uma mesa/roda, arranjos que são apenas rotações uns dos outros são considerados iguais (porque não há “cadeira 1” fixa). Por isso o número de maneiras é
em vez de
. Exemplo pequeno para sentir a ideia: para
pessoas distintas na roda, as permutações lineares seriam
, mas todas as rotações colapsam em
disposições distintas, que é o número correto ao contar só a ordem relativa.
Passo 3
Usando o método do bloco (técnica padrão para “sempre juntos”).
- Se as três meninas devem ficar juntas, podemos tratá-las como se formassem uma única “super-pessoa” (um bloco). Esse bloco ocupa um lugar na roda e, além dele, temos as outras pessoas.
- Contando unidades agora: temos o bloco (1), as outras
meninas (porque ) e os meninos. Então o número de unidades distintas a serem arranjadas em círculo é
Passo 4
Contando as posições do bloco e dos demais em círculo.
- Arranjar
unidades distintas em roda dá
- Vou calcular
passo a passo para ficar claro: .
Passo 5
Contando as permutações internas do bloco.
- Dentro do bloco as
meninas podem se ordenar de todas as formas possíveis entre si; como são distintas, isso dá
maneiras internas.
Passo 6
Combinação dos dois fatores (posição do bloco na roda × ordem interna do bloco).
- Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos que satisfazem a condição é
- Substituindo os valores já calculados:
Passo 7
Observação sobre simetrias adicionais (para não errar na prova):
- Aqui considerei que apenas rotações produzem arranjos equivalentes (o que é o padrão para “rodas”/“mesas”/“cirandas”). Não dividi por
para reflexões porque, em geral, refletir a ordem (trocar sentido horário/anti-horário) produz uma ordem diferente quando as pessoas são distintas e a orientação importa. Se o problema explicitamente dissesse que arranjos que são reflexos também são iguais (caso raro), seria preciso dividir por . Como não disse, não dividi.