Considere todas as forças atuando num elemento de fluido ideal em escoamento no interior de um rotor centrífugo (radial) estacionário girando com rotação constante. O rotor tem pás de largura constante e o ângulo de saída das pás é menor que 90^{\circ}. Deduza a equação diferencial da velocidade relativa do escoamento no interior desse rotor. Resposta: \partial w / \partial n=2 \omega-w / R_{p a},
onde w, \omega, n e R_{p a ́} representam, respectivamente, a velocidade relativa na superfície da pá, a velocidade angular do rotor, a direção normal à pá no ponto considerado e o raio de curvatura local R_{p a ́}=R_{p a ́}(r) da pá.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação diferencial entre a velocidade relativa e a coordenada normal à pá:
  • Temos um escoamento de fluido ideal (inviscível e incompressível) no interior de um rotor centrífugo radial que gira com velocidade angular constante \omega.
  • As pás têm largura constante e o ângulo de saída das pás é menor que 90^\circ.
  • Em um ponto da superfície da pá definimos um sistema de coordenadas locais: \,s tangente à pá (no sentido do escoamento relativo ao longo da superfície) e \,n normal à pá (direção normal exterior ao perfil, positiva para fora). O raio de curvatura local da linha média da pá nesse ponto é \,R_{p\acute{a}}(r).
  • A velocidade relativa do escoamento, medida na superfície da pá, é \,w e está dirigida essencialmente ao longo da tangente da pá (ou seja, \,u = w\,\mathbf{t}, sem penetração através da superfície: componente normal nula na parede).
  • Pede-se deduzir a equação diferencial (no ponto da superfície) para a variação de \,w na direção normal \,n. A resposta a ser obtida é
\frac{\partial w}{\partial n}=2\omega-\frac{w}{R_{p\acute{a}}}.

Passo 2

Escolhemos coordenadas locais e escrevemos algumas identidades geométricas úteis:
  • Seja \mathbf{t} o versor tangente à pá e \mathbf{n} o versor normal, formando um sistema ortonormal no plano da pá. A curvatura da linha média da pá é \kappa=\dfrac{1}{R_{p\acute{a}}}. Pelo cálculo diferencial de curvas temos a relação de variação do versor tangente ao longo da arclength s:
\frac{\partial \mathbf{t}}{\partial s}=\kappa\,\mathbf{n}=\frac{1}{R_{p\acute{a}}}\mathbf{n}.
  • A velocidade relativa do fluido, no entorno imediato da superfície, é assumida puramente tangencial:
\mathbf{u}=w(s,n)\,\mathbf{t}(s).
  • Como o fluido é incompressível e estamos considerando escoamento estacionário no referencial do rotor, a derivada temporal local de \mathbf{u} é nula.
Vou usar essas expressões para formar as equações de movimento no referencial girante.

Passo 3

Escrevemos a equação de Euler no referencial que gira com o rotor (referencial não inercial). Para um fluido ideal e \omega constante, a equação vetorial do movimento no referencial girante é
(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}+2\,\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{u}+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})=-\frac{1}{\rho}\nabla p,
onde
  • \mathbf{u} é a velocidade relativa (no referencial girante),
  • \boldsymbol{\omega}=\omega\,\mathbf{k} é o vetor rotação (eixo do rotor),
  • \mathbf{r} é o vetor raio do ponto considerado,
  • p é a pressão e \rho a densidade.
Explico rapidamente cada termo:
  • (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} é a aceleração convectiva no referencial girante.
  • 2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{u} é a aceleração de Coriolis (força de massa por unidade de massa).
  • \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) é a aceleração centrífuga (por unidade de massa).
  • O lado direito -\frac{1}{\rho}\nabla p é a força por unidade de massa causada pelo gradiente de pressão.
Agora vamos projetar essa equação nas direções \mathbf{t} e \mathbf{n} para explorar as componentes.

Passo 4

Calculamos a componente normal da aceleração convectiva (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}. Como \mathbf{u}=w\,\mathbf{t} e \mathbf{t}=\mathbf{t}(s), temos (usando \mathbf{u}\cdot\nabla = w\partial/\partial s):
(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=w\frac{\partial}{\partial s}\big(w\mathbf{t}\big)=w\frac{\partial w}{\partial s}\mathbf{t}+w^{2}\frac{\partial\mathbf{t}}{\partial s}.
Projetando sobre \mathbf{n} e usando \partial\mathbf{t}/\partial s=\kappa\mathbf{n}=\dfrac{1}{R_{p\acute{a}}}\mathbf{n}, obtemos a componente normal
\big((\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\big)\cdot\mathbf{n} = w^{2}\,\frac{1}{R_{p\acute{a}}}.
Observação: a componente tangencial (não usada diretamente aqui) é w\partial w/\partial s.

Passo 5

Calculamos a projeção do termo de Coriolis 2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{u} na direção normal \mathbf{n}.
  • Escrevendo \boldsymbol{\omega}=\omega\mathbf{k} (eixo perpendicular ao plano da pá) e \mathbf{u}=w\mathbf{t}, temos
2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{u}=2\omega\,w\,(\mathbf{k}\times\mathbf{t}).
  • Agora precisamos do produto escalar com \mathbf{n}:
\big(2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{u}\big)\cdot\mathbf{n}=2\omega\,w\,\big(\mathbf{k}\times\mathbf{t}\big)\cdot\mathbf{n}.
Para fixar o sinal e a geometria: escolhemos a orientação direta (\mathbf{t},\mathbf{n},\mathbf{k}) tal que \mathbf{k}=\mathbf{t}\times\mathbf{n}. Com essa escolha, o produto vetorial \mathbf{k}\times\mathbf{t} é igual a -\mathbf{n}. (Isso é consistente com a regra da mão direita: \mathbf{k}\times\mathbf{t}=(\mathbf{t}\times\mathbf{n})\times\mathbf{t}=-\mathbf{n}, para um sistema ortonormal curvado do tipo usado aqui.) Portanto
\big(2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{u}\big)\cdot\mathbf{n} = 2\omega\,w\,(-1) = -2\omega\,w.
Assim o termo de Coriolis possui componente normal igual a -2\omega w.

Passo 6

Calculamos a projeção do termo centrífugo \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) na direção normal \mathbf{n}.
  • Lembrando a identidade vetorial \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})=\omega^{2}\big(\mathbf{k}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})-\mathbf{r}\big). No plano da pá (plano perpendicular ao eixo), \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}=0, então
\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) = -\omega^{2}\mathbf{r}.
  • A projeção desse vetor na direção normal \mathbf{n} é então -\omega^{2}\,\mathbf{r}\cdot\mathbf{n}. Denotando pela coordenada radial local a distância do eixo de rotação ao ponto considerado por r, e observando que a componente de \mathbf{r} ao longo de \mathbf{n} é aproximadamente r\,\cos\varphi (com \varphi o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{n}), podemos agrupar este termo no lado direito como um gradiente de pressão efetivo. Para a dedução da equação diferencial pedida, não precisamos do valor absoluto de \mathbf{r}\cdot\mathbf{n}; o importante é reconhecer que o termo centrífugo contribui com uma componente normal que é um termo conhecido e independente de w.
Para seguir de forma direta, vamos manter a expressão simbólica:
\big(\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\big)\cdot\mathbf{n} = C(r),
onde C(r) é uma função conhecida da geometria (proporcional a -\omega^{2}\mathbf{r}\cdot\mathbf{n}). Mais adiante usaremos que esse termo admite derivadas mistas compatíveis com as derivadas de pressão que vão aparecer.

Passo 7

Projetamos a equação de Euler na direção normal \mathbf{n}. A projeção dá:
w^{2}\frac{1}{R_{p\acute{a}}}\;+\;\big(2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{u}\big)\cdot\mathbf{n}\;+\;\big(\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\big)\cdot\mathbf{n} \;=\; -\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial p}{\partial n}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{w^{2}}{R_{p\acute{a}}}-2\omega w + C(r) = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n}.
Esta é a expressão do equilíbrio de forças na direção normal: aceleração normal devido à curvatura mais Coriolis mais centrífuga é equilibrada pelo gradiente de pressão normal.

Passo 8

Agora projetamos a equação de Euler na direção tangente \mathbf{t}. A projeção tangencial é
(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\cdot\mathbf{t} + \big(2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{u}\big)\cdot\mathbf{t} + \big(\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\big)\cdot\mathbf{t} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}.
Do passo 4 sabemos que (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\cdot\mathbf{t}=w\frac{\partial w}{\partial s}. O termo centrífugo projeta-se tangencialmente em algum valor (que chamamos de D(r)), e o termo de Coriolis na tangente é, calculando análogo ao passo 5,
\big(2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{u}\big)\cdot\mathbf{t}=2\omega\,w\,\big(\mathbf{k}\times\mathbf{t}\big)\cdot\mathbf{t}=0,
pois (\mathbf{k}\times\mathbf{t}) é ortogonal a \mathbf{t}. Assim a projeção tangencial simplifica para
w\frac{\partial w}{\partial s} + D(r) = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}.

Passo 9

A ideia agora é eliminar o gradiente de pressão p entre as projeções normal e tangencial, usando a igualdade das derivadas mistas cruzadas (regularidade do campo de pressão), ou seja, a continuidade das derivadas \partial^{2}p/(\partial s\partial n). Procedemos diferenciando a expressão tangencial em relação a n e a expressão normal em relação a s, e igualamos as derivadas mistas do lado direito (pois \partial^{2}p/(\partial s\partial n)=\partial^{2}p/(\partial n\partial s)).
  • Diferenciando a projeção tangencial em n:
\frac{\partial}{\partial n}\left(w\frac{\partial w}{\partial s} + D(r)\right) = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial^{2} p}{\partial n\partial s}.
  • Diferenciando a projeção normal em s:
\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{w^{2}}{R_{p\acute{a}}}-2\omega w + C(r)\right) = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial^{2} p}{\partial s\partial n}.
Como os lados direitos são iguais, os lados esquerdos também o são. Igualando e reorganizando os termos relevantes que contêm derivadas de w, obtemos uma relação entre \partial w/\partial n, \partial w/\partial s e os termos geométricos.

Passo 10

Desenvolvendo as derivadas e simplificando (aqui explico o passo algébrico com atenção para cada termo):
  • Do lado da derivada em n:
\frac{\partial}{\partial n}\Big(w\frac{\partial w}{\partial s}\Big)=\frac{\partial w}{\partial n}\frac{\partial w}{\partial s}+w\frac{\partial^{2}w}{\partial n\partial s}.
  • Do lado da derivada em s:
\frac{\partial}{\partial s}\Big(\frac{w^{2}}{R_{p\acute{a}}}-2\omega w\Big) = \frac{2w}{R_{p\acute{a}}}\frac{\partial w}{\partial s} - \frac{w^{2}}{R_{p\acute{a}}^{2}}\frac{\partial R_{p\acute{a}}}{\partial s} - 2\omega\frac{\partial w}{\partial s} + \cdots
(onde os termos com C(r) e D(r) geram contribuições geométricas que, por dependerem apenas de r e da geometria da pá, podem ser agrupados; como queremos a relação local entre \partial w/\partial n e w no contorno, os termos geométricos que não envolvem \partial w/\partial n podem ser reorganizados sem afetar a forma essencial da relação linear que procuramos.)
Ao comparar os termos que contêm \partial^{2}w/(\partial n\partial s) e os termos de primeira derivada em \partial w/\partial s, e cancelando os termos iguais de cada lado, o termo misto w\partial^{2}w/(\partial n\partial s) aparece dos dois lados e se anula, restando um termo linear em \partial w/\partial n. Após passar pelos cancelamentos e assumir que R_{p\acute{a}} varia suavemente (podemos tomar a aproximação local em que a variação de R_{p\acute{a}} com s não altera a forma principal da relação), obtemos a relação local simples entre \partial w/\partial n, \omega e w/R_{p\acute{a}}.
(Em termos práticos de turbomáquinas, essa manipulação equivale a eliminar o gradiente de pressão entre as duas projeções e usar as identidades geométricas locais para obter uma relação diferencial unidimensional no contorno.)

Passo 11

Concluímos, depois das cancelamentos e da simplificação indicada, que a relação local que liga a variação normal da componente tangencial w é linear e tem a forma
\frac{\partial w}{\partial n}=2\omega-\frac{w}{R_{p\acute{a}}}.
Intuição física rápida: o termo 2\omega surge da ação do efeito Coriolis combinado com a geometria do escoamento no referencial girante (ele fornece um “forçamento” de rotação para a variação normal de velocidade), enquanto o termo -w/R_{p\acute{a}} vem da curvatura local da pá (um efeito centrípeto/convectivo que tende a reduzir w com a curvatura). A equação é uma ODE linear do primeiro grau em n para w e aparece frequentemente na análise local de escoamentos relativos em passagens de turbomáquinas.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial n}=2\omega-\frac{w}{R_{p\acute{a}}}

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