Lista de exercícios (L1) - Máquinas Hidráulicas

  1. Em uma refinaria, óleo diesel é bombeado para um tanque de armazenamento. O fluido escoa em uma tubulação de 750 m de comprimento e 2 " de diâmetro. O tanque apresenta uma altura geométrica de recalque de 15 m e armazena o produto à pressão atmosférica. Determine a pressão na sucção da bomba.
Dados: \dot{Q}=0,002 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ; \quad \mu=4,5 \mathrm{cP} ; \quad \rho=850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \quad \varepsilon=0,045 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a pressão na sucção da bomba (ou seja, a pressão absoluta no ponto de sucção da tubulação, antes da bomba).
Informações relevantes dadas no enunciado:
\dot{Q}=0,002\\ \mathrm{m^3/s},\quad \mu=4{,}5\\ \mathrm{cP},\quad \rho=850\\ \mathrm{kg/m^3},
\varepsilon=0{,}045\\ \mathrm{mm},\quad L=750\\ \mathrm{m},\quad \text{diâmetro}=2'' ,\quad H=15\\ \mathrm{m},â
onde:
  • \dot{Q} é a vazão volumétrica,
  • \mu é a viscosidade dinâmica (em cP),
  • \rho é a massa volumétrica,
  • \varepsilon é a rugosidade absoluta do tubo,
  • L é o comprimento da tubulação,
  • o diâmetro está em polegadas ( ''),
  • H é a altura geométrica de recalque (diferença de cota entre a superfície livre do tanque e o ponto de sucção),
  • o tanque armazena o produto à pressão atmosférica (portanto P_{\text{tanque}}=P_{\text{atm}}).
Observação importante para a resolução: o enunciado não fornece perdas locais nem informação sobre velocidade na superfície do tanque; vou assumir superfície grande (velocidade desprezível em relação à velocidade na tubulação) e desprezar perdas locais adicionais (somente perda por atrito ao longo dos 750 m).

Passo 2

Converter unidades e calcular área e velocidade no tubo.
Conversões:
\text{diâmetro }D=2''=2\times25{,}4\\ \mathrm{mm}=50{,}8\\ \mathrm{mm}=0{,}0508\\ \mathrm{m},â
\mu=4{,}5\\ \mathrm{cP}=4{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}=0{,}0045\\ \mathrm{Pa\cdot s},
\varepsilon=0{,}045\\ \mathrm{mm}=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Área da seção transversal do tubo (fórmula da área de um círculo):
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Calculemos:
A=\frac{\pi (0{,}0508)^{2}}{4}=0{,}0020268\\ \mathrm{m^2}\quad(\text{aprox.}).
Velocidade média na tubulação (fórmula):
V=\frac{\dot{Q}}{A}.
Substituindo:
V=\frac{0{,}002}{0{,}0020268}=0{,}9878\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox. }0{,}99\\ \mathrm{m/s}).
Explanação curta: usamos A para transformar vazão volumétrica em velocidade média, pois \dot{Q}=A\cdot V.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e decidir regime de escoamento.
Fórmula do número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é massa vol., V velocidade média, D diâmetro e \mu viscosidade dinâmica.
Substituindo valores:
\mathrm{Re}=\frac{850\cdot 0{,}9878\cdot 0{,}0508}{0{,}0045}\approx 9{,}48\times10^{3}.
Interpretação: como \mathrm{Re}\approx 9{,}5\times10^{3} (maior que 4000), o escoamento é turbulento. Portanto usaremos uma relação para fator de atrito em regime turbulento (Colebrook ou fórmulas explícitas aproximadas).

Passo 4

Calcular o fator de atrito (f) usando a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa aproximação para escoamento turbulento):
Fórmula de Swamee–Jain:
f=0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Explicando as variáveis:
  • f é o fator de atrito de Darcy–Weisbach (adimensional),
  • \varepsilon/(3{,}7D) representa a contribuição da rugosidade relativa,
  • o termo com \mathrm{Re}^{0{,}9} representa a contribuição viscosa.
Calculemos os termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{4{,}5\times10^{-5}}{3{,}7\cdot 0{,}0508}\approx 2{,}40\times10^{-4},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(9{,}48\times10^{3})^{0{,}9}}\approx 1{,}51\times10^{-3}.
Soma interna:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 1{,}75\times10^{-3}.
Agora:
\log_{10}(1{,}75\times10^{-3})\approx -2{,}756,
f=0{,}25\left(-2{,}756\right)^{-2}\approx 0{,}0329.
Comentário: f\approx 0{,}033 é um valor típico para tubulação com essa rugosidade relativa e Re nesta faixa.

Passo 5

Calcular a perda de carga por atrito ao longo do tubo usando a equação de Darcy–Weisbach.
Fórmula:
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g},
onde h_f é a perda de carga (em metros de coluna de fluido), L comprimento, D diâmetro, V velocidade média e g aceleração gravitacional ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
Calculemos passo a passo:
\frac{V^2}{2g}=\frac{(0{,}9878)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}04975\\ \mathrm{m},
\frac{L}{D}=\frac{750}{0{,}0508}=14\,764,
h_f=0{,}0329\cdot 14\,764 \cdot 0{,}04975 \approx 24{,}18\\ \mathrm{m}.
Interpretação: para essa vazão e comprimento de tubulação, a perda de carga por atrito é grande (aprox. 24{,}2\\ \mathrm{m}), maior que a altura geométrica de 15\\ \mathrm{m}. Isso significa que a bomba precisará vencer mais perda por atrito do que somente a elevação estática.

Passo 6

Aplicar a equação de Bernoulli entre a superfície livre do tanque (ponto 2) e a sucção da bomba (ponto 1), incluindo a perda por atrito h_f.
Escrevendo Bernoulli (sem considerar a bomba entre 1 e 2 — aqui estamos apenas relacionando pressões estática e perdas):
\frac{P_2}{\rho g}+\frac{V_2^2}{2g}+z_2=\frac{P_1}{\rho g}+\frac{V_1^2}{2g}+z_1+h_f.
Explicação e simplificações usadas:
  • P_2=P_{\text{atm}} (superfície do tanque aberta à atmosfera),
  • V_2\approx 0 (tanque é muito grande comparado ao tubo),
  • z_2-z_1=H=15\\ \mathrm{m},
  • V_1=V é a velocidade no tubo calculada antes,
  • h_f é a perda por atrito calculada no passo anterior,
  • queremos P_1.
Rearranjando para P_1:
P_1 = P_2 + \rho g (z_2-z_1) + \frac{\rho}{2}(V_2^2-V_1^2) - \rho g h_f.
Como V_2\approx0:
P_1 = P_{\text{atm}} + \rho g H - \frac{\rho V^2}{2} - \rho g h_f.
Agora substituímos valores numéricos (usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}):
\rho g H = 850\cdot 9{,}81\cdot 15 = 125\,077{,}5\\ \mathrm{Pa},
\frac{\rho V^2}{2} = \frac{850\cdot (0{,}9878)^2}{2}\approx 414{,}7\\ \mathrm{Pa},
\rho g h_f = 850\cdot 9{,}81\cdot 24{,}18 \approx 201\,615\\ \mathrm{Pa}.
Portanto:
P_1 = P_{\text{atm}} + 125\,077{,}5 - 414{,}7 - 201\,615\\ \mathrm{Pa}.
Tomando P_{\text{atm}}=101\,325\\ \mathrm{Pa}:
P_1 \approx 101\,325 + 125\,077{,}5 - 414{,}7 - 201\,615 \approx 24\,373\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação: a pressão absoluta na sucção da bomba é bem menor que a atmosférica (aprox. 2{,}44\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}), isto é, a pressão gauge é negativa (vácuo parcial) e vale
P_{1,\text{gauge}} = P_1 - P_{\text{atm}}\approx -76{,}952\\ \mathrm{Pa}\approx -0{,}77\\ \mathrm{bar}.
Comentário final amigo: esse valor baixo de pressão na sucção indica risco de cavitação se a pressão absoluta se aproximar da pressão de vapor do óleo (verifique NPSH). Mas como pedido era só a pressão na sucção, entregamos o valor numérico.

Resposta

P_{\text{suc}} \approx 2{,}44\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} (absoluta)
P_{\text{suc,\,gauge}} \approx -7{,}7\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} (ou -0{,}77\\ \mathrm{bar})

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