Questão 7) Um escoamento é representado pelo campo de velocidade \vec{V}=10 x \hat{\imath}-10 y \hat{\jmath}+ 30 k . O escoamento é uni, bi ou tridimensional? É incompressível? É rotacional?

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\vec{V}=10x\,\hat{\imath}-10y\,\hat{\jmath}+30\,\hat{k}
e pede três coisas:
  1. Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional;
  2. Se o escoamento é incompressível;
  3. Se o escoamento é rotacional.
Informações explícitas que temos (vou listá-las para não nos perder):
\,u(x,y,z)=10x (componente x-direção),
\,v(x,y,z)=-10y (componente y-direção),
\,w(x,y,z)=30 (componente z-direção, constante).
Não há nenhuma figura nem outra tabela — toda a informação necessária está na expressão do campo acima.

Passo 2

Definição prática e escolha de convenção para “uni/bi/tridimensional”: normalmente dizemos que um escoamento é
  • unidimensional se só tiver uma componente de velocidade diferente de zero em geral;
  • bidimensional se tiver duas componentes não nulas (e típicamente dependência só de duas coordenadas);
  • tridimensional se as três componentes forem, em geral, não nulas.
Aqui as três componentes são (em geral) não nulas: \,u=10x não é identicamente zero para todo x, \,v=-10y não é identicamente zero para todo y, e \,w=30 é uma componente não nula constante. Portanto, pela convenção prática, o escoamento é tridimensional.
Observação pedagógica: mesmo que w não dependa de x,y,z (é constante), o fato de existir velocidade na direção z faz com que o campo seja tridimensional — há movimento nas três direções.

Passo 3

Agora vamos verificar incompressibilidade. A condição matemática de incompressibilidade é que a divergência do campo seja zero. A fórmula da divergência para \vec{V}=(u,v,w) é
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.
Substituindo u=10x, v=-10y, w=30 calculamos cada derivada parcial:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (10x)}{\partial x}=10,
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial (-10y)}{\partial y}=-10,
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial (30)}{\partial z}=0.
Somando-as:
\nabla\cdot\vec{V}=10+(-10)+0=0.
Interpretação física curta: divergência zero significa que, localmente, não há ganho nem perda de volume de um pequeno elemento fluido — ou seja, o escoamento é incompressível.

Passo 4

Agora verificamos se o escoamento é rotacional (ou seja, se tem vorticidade). O rotacional (curl) de \vec{V} é dado por
\nabla\times\vec{V}=\begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\[4pt] \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\[6pt] u & v & w \end{vmatrix}.
Usando a forma componente a componente, temos
(\nabla\times\vec{V})_x=\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z},
(\nabla\times\vec{V})_y=\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x},
(\nabla\times\vec{V})_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
Calculemos cada termo com u=10x, v=-10y, w=30:
\frac{\partial w}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial z}=0 \quad\Rightarrow\quad (\nabla\times\vec{V})_x=0-0=0,
\frac{\partial u}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial w}{\partial x}=0 \quad\Rightarrow\quad (\nabla\times\vec{V})_y=0-0=0,
\frac{\partial v}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0 \quad\Rightarrow\quad (\nabla\times\vec{V})_z=0-0=0.
Logo
\nabla\times\vec{V}=\vec{0}.
Interpretação física curta: rotacional nulo significa que o escoamento é irrotacional (não há rotação local do fluido medida pela vorticidade).]

Passo 5

Resumo interpretativo rápido antes da resposta final: o campo tem movimento nas três direções (por isso tridimensional), preserva volume localmente (divergência zero → incompressível) e não possui vorticidade (rotacional nulo → irrotacional). Força a memória: componentes lineares em x e y indicam uma deformação do tipo alongamento/compressão no plano xy, enquanto w=30 é uma tradução uniforme ao longo de z.

Resposta

Tridimensional.
Sim — incompressível: \nabla\cdot\vec{V}=0.
Não — não é rotacional (irrotacional): \nabla\times\vec{V}=\vec{0}.

Exercícios relacionados