Questão 7) Um escoamento é representado pelo campo de velocidade \vec{V}=10 x \hat{\imath}-10 y \hat{\jmath}+ 30 k . O escoamento é uni, bi ou tridimensional? É incompressível? É rotacional?
Informações explícitas que temos (vou listá-las para não nos perder): \,u(x,y,z)=10x (componente x-direção), \,v(x,y,z)=-10y (componente y-direção), \,w(x,y,z)=30 (componente z-direção, constante).
Não há nenhuma figura nem outra tabela — toda a informação necessária está na expressão do campo acima.
Passo 2
Definição prática e escolha de convenção para “uni/bi/tridimensional”: normalmente dizemos que um escoamento é
unidimensional se só tiver uma componente de velocidade diferente de zero em geral;
bidimensional se tiver duas componentes não nulas (e típicamente dependência só de duas coordenadas);
tridimensional se as três componentes forem, em geral, não nulas.
Aqui as três componentes são (em geral) não nulas: \,u=10x não é identicamente zero para todo x, \,v=-10y não é identicamente zero para todo y, e \,w=30 é uma componente não nula constante. Portanto, pela convenção prática, o escoamento é tridimensional.
Observação pedagógica: mesmo que w não dependa de x,y,z (é constante), o fato de existir velocidade na direção z faz com que o campo seja tridimensional — há movimento nas três direções.
Passo 3
Agora vamos verificar incompressibilidade. A condição matemática de incompressibilidade é que a divergência do campo seja zero. A fórmula da divergência para \vec{V}=(u,v,w) é
Interpretação física curta: divergência zero significa que, localmente, não há ganho nem perda de volume de um pequeno elemento fluido — ou seja, o escoamento é incompressível.
Passo 4
Agora verificamos se o escoamento é rotacional (ou seja, se tem vorticidade). O rotacional (curl) de \vec{V} é dado por
\nabla\times\vec{V}=\begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\[4pt] \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\[6pt] u & v & w \end{vmatrix}.
Interpretação física curta: rotacional nulo significa que o escoamento é irrotacional (não há rotação local do fluido medida pela vorticidade).]
Passo 5
Resumo interpretativo rápido antes da resposta final: o campo tem movimento nas três direções (por isso tridimensional), preserva volume localmente (divergência zero → incompressível) e não possui vorticidade (rotacional nulo → irrotacional). Força a memória: componentes lineares em x e y indicam uma deformação do tipo alongamento/compressão no plano xy, enquanto w=30 é uma tradução uniforme ao longo de z.
Resposta
Tridimensional.
Sim — incompressível: \nabla\cdot\vec{V}=0.
Não — não é rotacional (irrotacional): \nabla\times\vec{V}=\vec{0}.