Considere todos os gases como perfeitos, a menos que exista informação em contrário.
Calcule o trabalho realizado por um gás quando ele se expande de 1,0 \mathrm{~cm}^{3} contra uma pressão atmosférica de 100 kPa . Que trabalho deve ser feito para comprimir o gás de volta ao seu estado original em cada caso?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá informações claras. Vou listar:
  • Perguntas: (A) Calcular o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande de 1,0\\ \mathrm{cm}^{3} contra uma pressão atmosférica de 100\\ \mathrm{kPa}. (B) Que trabalho deve ser feito para comprimir o gás de volta ao seu estado original em cada caso?
  • Dados fornecidos: \Delta V = +1,0\\ \mathrm{cm}^{3} (expansão), P_{\text{ext}} = 100\\ \mathrm{kPa}.
  • Observação importante (implícita no enunciado): tratar os gases como perfeitos, mas para o cálculo do trabalho contra pressão constante só precisamos da pressão externa e da variação de volume.
    A partir daqui vou resolver passo a passo.

Passo 2

Conceito e fórmula essenciais (aulas rápidas e concretas).
  • Trabalho de pressão-volume: quando um gás realiza trabalho mecânico ao expandir ou quando é comprimido, o trabalho elemental realizado pelo sistema (gas) ao sofrer uma pequena variação de volume dV contra uma pressão externa P_{\text{ext}} é
dw = -P_{\text{ext}}\,dV.
Explicando a fórmula: a razão do sinal negativo é a convenção em química/termodinâmica — trabalho feito pelo sistema sobre os arredores é contado como negativo. Se dV>0 (expansão), então dw<0. Se dV<0 (compressão), então dw>0.
  • Para um processo contra pressão externa constante (caso dado), integramos diretamente:
w = -\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV = -P_{\text{ext}}(V_f-V_i) = -P_{\text{ext}}\Delta V.
Isto é tudo que precisamos para parte (A).

Passo 3

Conversão de unidades (muito importante para não errar):
  • 1,0\\ \mathrm{cm}^{3} = 1,0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}.
  • 100\\ \mathrm{kPa} = 1,00\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    Agora aplicamos a fórmula para a expansão contra pressão constante:
w = -P_{\text{ext}}\Delta V = -\bigl(1,00\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}\bigr)\bigl(1,0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}\bigr).
Faço a multiplicação passo a passo: 1,00\times 10^{5}\times 1,0\times 10^{-6} = 1,00\times 10^{-1}=0,10. Portanto
w = -0,10\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o gás realiza 0,10\\ \mathrm{J} de trabalho sobre os arredores; segundo a convenção o valor é w=-0,10\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Trabalhos necessários para comprimir de volta — caso 1: comprimir contra a mesma pressão constante P_{\text{ext}}=100\\ \mathrm{kPa}.
Ao comprimir de volta ao estado inicial o volume muda em \Delta V = V_{\text{final}}-V_{\text{inicial}} = -1,0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3} (agora é compressão). Aplicando a mesma fórmula com a mesma pressão externa:
w = -P_{\text{ext}}\Delta V = -\bigl(1,00\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}\bigr)\bigl(-1,0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}\bigr)=+0,10\\ \mathrm{J}.
Interpretação: para comprimir contra a mesma pressão constante você tem que realizar 0,10\\ \mathrm{J} de trabalho sobre o gás (trabalho positivo, pois é trabalho feito sobre o sistema).

Passo 5

Trabalhos para comprimir de volta — caso 2: compressão reversível (quasi‑estática).
  • Fórmula geral para trabalho reversível (quando a pressão externa acompanha sempre a pressão interna do gás) é
w_{\text{rev}} = -\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{gas}}(V)\,dV.
  • Para calcular numericamente essa integral é necessário conhecer a relação P_{\text{gas}}(V) ao longo do processo — por exemplo, se for uma compressão isotérmica de um gás ideal precisamos de nRT para usar P=nRT/V e então obter w_{\text{rev}}=-nRT\ln(V_f/V_i). O enunciado não dá temperatura, número de mols nem outros detalhes do processo, então não é possível obter um valor numérico exato para w_{\text{rev}} com os dados fornecidos.
  • Comparação útil (sem precisar de números): para uma dada mudança de estado entre dois volumes fixos, a expansão reversível rende o máximo de trabalho possível que o gás pode realizar; uma expansão irreversível (como contra uma pressão externa constante) dá sempre trabalho de menor magnitude. Portanto, para comprimir reversivelmente de volta ao estado original você deverá fornecer pelo menos a mesma energia que o sistema forneceu na expansão irreversível — normalmente você terá que fornecer UMA QUANTIA IGUAL OU MAIOR do que 0,10\\ \mathrm{J}. Em símbolos:
w_{\text{rev (compressão)}} \ge +0,10\\ \mathrm{J}.ã
A igualdade ocorreria apenas em um caso especial em que o processo reversível reduz-se ao mesmo valor médio de pressão (situação degenerate para variação tão pequena); na prática, sem mais dados, só podemos afirmar a desigualdade e fornecer a expressão integral acima.

Passo 6

Resumo físico e incentivo rápido: o cálculo direto é simples quando a pressão externa é constante (use w=-P_{\text{ext}}\Delta V), e para processos reversíveis você precisa da curva pressão-versus-volume para integrar. Você já tem o número básico, e sabe como proceder se aparecerem temperatura ou mols na prova — vai dar certo!

Resposta

-0,10\\ \mathrm{J}
+0,10\\ \mathrm{J}
\text{Não determinado com os dados; }w_{\mathrm{rev}} = -\displaystyle\int_{V_i}^{V_f} P_{\mathrm{gas}}(V)\,dV\text{ e }w_{\mathrm{rev}}\ge +0,10\\ \mathrm{J}.ã

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