Considere os vetores
e
do
.
a) Determine
e
tais que
seja ortogonal a
e que
e
sejam LD.
b) Dado
decompor
em dois vetores sendo um pertencente a
e outro ao complemento ortogonal
.
a) Determine
b) Dado
Passo 1
O enunciado dá os vetores
em
.
a) Pede a decomposição de em
, onde
e
é múltiplo de
.
b) Pede a decomposição de em um componente em
e outro em
.
Vai ser preciso usar produto interno, projeção ortogonal e o processo de Gram–Schmidt para achar projeções em subespaços gerados por vetores.
a) Pede a decomposição de
b) Pede a decomposição de
Vai ser preciso usar produto interno, projeção ortogonal e o processo de Gram–Schmidt para achar projeções em subespaços gerados por vetores.
Passo 2
Para a parte (a), note que
deve ser a projeção de
sobre a reta gerada por
. A fórmula de projeção é
Calculamos
logo
Passo 3
Em seguida,
é o complemento ortogonal de
em
, ou seja
Verifique que
, então
, e
é LD com
.
Passo 4
Para a parte (b), vamos projetar
no subespaço
. Primeiro aplicamos Gram–Schmidt aos geradores
e
:
manter e definir
manter
Aqui
e
, então
Passo 5
Agora a projeção de
em
é
com
e
Portanto
Somando,
Passo 6
O componente ortogonal a
é simplesmente
que de fato satisfaz
e
.
Resposta
a)
b)