Considere os vetores u=(1,1,1) e v=(3,2,1) do R^{3}.
a) Determine w_{1} e w_{2} tais que v=w_{1}+w_{2}, w_{1} seja ortogonal a u e que w_{2} e u sejam LD.
b) Dado w=(0,1,1) decompor v em dois vetores sendo um pertencente a S=[u, w] e outro ao complemento ortogonal S^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(1,1,1),\quad v=(3,2,1)\quad\text{e}\quad w=(0,1,1)
em \mathbb{R}^3.
a) Pede a decomposição de v em w_1+w_2, onde w_1\perp u e w_2 é múltiplo de u.
b) Pede a decomposição de v em um componente em S=\mathrm{span}\{u,w\} e outro em S^\perp.
Vai ser preciso usar produto interno, projeção ortogonal e o processo de Gram–Schmidt para achar projeções em subespaços gerados por vetores.

Passo 2

Para a parte (a), note que w_{2} deve ser a projeção de v sobre a reta gerada por u. A fórmula de projeção é
\mathrm{proj}_{u}(v) = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Calculamos
\langle v,u\rangle = 3+2+1 = 6, \quad \langle u,u\rangle = 1+1+1 = 3,
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w_{2} = \frac{6}{3}\,u = 2\,u = (2,2,2).

Passo 3

Em seguida, w_{1} é o complemento ortogonal de w_{2} em v, ou seja
w_{1} = v - w_{2} = (3,2,1)-(2,2,2) = (1,0,-1).
Verifique que \langle w_{1},u\rangle = 1+0-1=0, então w_{1}\perp u, e w_{2}=2u é LD com u.

Passo 4

Para a parte (b), vamos projetar v no subespaço S=\mathrm{span}\{u,w\}. Primeiro aplicamos Gram–Schmidt aos geradores u e w:
manter u_{1}=u e definir
u_{2} = w - \mathrm{proj}_{u}(w) = w - \frac{\langle w,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Aqui \langle w,u\rangle = 0+1+1=2 e \langle u,u\rangle=3, então
\mathrm{proj}_{u}(w)=\frac{2}{3}\,u=(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}), \quad u_{2} = (0,1,1)-(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}) = (-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}).

Passo 5

Agora a projeção de v em S é
\mathrm{proj}_{S}(v) = \mathrm{proj}_{u_{1}}(v) + \mathrm{proj}_{u_{2}}(v),
com
\mathrm{proj}_{u_{1}}(v) = \frac{\langle v,u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}\,u_{1} = 2\,u = (2,2,2),
e
\langle v,u_{2}\rangle = 3\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) + 2\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) + 1\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) = -2 + \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{3} = -1, \quad \langle u_{2},u_{2}\rangle = \tfrac{2}{3}.
Portanto
\mathrm{proj}_{u_{2}}(v) = \frac{-1}{2/3}\,u_{2} = -\tfrac{3}{2}\,u_{2} = \bigl(1,-\tfrac12,-\tfrac12\bigr).
Somando,
\mathrm{proj}_{S}(v) = (2,2,2) + \bigl(1,-\tfrac12,-\tfrac12\bigr) = \bigl(3,\tfrac32,\tfrac32\bigr).

Passo 6

O componente ortogonal a S é simplesmente
v - \mathrm{proj}_{S}(v) = (3,2,1) - \bigl(3,\tfrac32,\tfrac32\bigr) = \bigl(0,\tfrac12,-\tfrac12\bigr),
que de fato satisfaz \langle v-\mathrm{proj}_{S}(v),u\rangle=0 e \langle v-\mathrm{proj}_{S}(v),w\rangle=0.

Resposta

a)
w_{1} = (1,0,-1), \quad w_{2} = (2,2,2).
b)
\mathrm{proj}_{S}(v) = \bigl(3,\tfrac32,\tfrac32\bigr), \quad \text{complemento }= \bigl(0,\tfrac12,-\tfrac12\bigr).

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