Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x-2 y-z,-2 x-5 y-4 z, x+y).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{13} vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x-2y-z,\\\ -2x-5y-4z,\\ x+y).
Pede-se para calcular B, a matriz que representa a inversa de T, e em particular pede o valor da entrada b_{13} (isto é, elemento da primeira linha e terceira coluna de B).
Informações relevantes dadas:
A transformação T está escrita na base canônica (e_1,e_2,e_3).
Precisa-se da matriz inversa B=A^{-1}, onde A é a matriz de T.
O que se deseja especificamente é o valor de b_{13}.
Passo 2
Como a transformação está dada na base canônica, eu formo a matriz A tomando como colunas as imagens dos vetores da base:
Lembrete rápido (mini-aula): a matriz inversa B=A^{-1} é aquela que satisfaz AB=I e BA=I. Uma forma prática de encontrar A^{-1} é aplicar eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada [A\mid I].]
Passo 3
Vou usar Gauss-Jordan em [A\mid I]. Montando a matriz aumentada inicial:
Explicando as operações: cada operação elementar em linhas corresponde a multiplicar por uma matriz elementar; no final teremos [I\mid A^{-1}]. Vou anotar cada operação e o resultado para você poder repetir na prova com calma.]
Passo 4
Primeira operação para facilitar pivô na primeira coluna: multiplicar a primeira linha por -1.