Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x-2 y-z,-2 x-5 y-4 z, x+y).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{13} vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x-2y-z,\\\ -2x-5y-4z,\\ x+y).
Pede-se para calcular B, a matriz que representa a inversa de T, e em particular pede o valor da entrada b_{13} (isto é, elemento da primeira linha e terceira coluna de B).
Informações relevantes dadas:
  • A transformação T está escrita na base canônica (e_1,e_2,e_3).
  • Precisa-se da matriz inversa B=A^{-1}, onde A é a matriz de T.
  • O que se deseja especificamente é o valor de b_{13}.

Passo 2

Como a transformação está dada na base canônica, eu formo a matriz A tomando como colunas as imagens dos vetores da base:
T(e_1)=T(1,0,0)=(-1,-2,1), \qquad T(e_2)=T(0,1,0)=(-2,-5,1), \qquad T(e_3)=T(0,0,1)=(-1,-4,0).
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} -1 & -2 & -1\\[4pt] -2 & -5 & -4\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Lembrete rápido (mini-aula): a matriz inversa B=A^{-1} é aquela que satisfaz AB=I e BA=I. Uma forma prática de encontrar A^{-1} é aplicar eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada [A\mid I].]

Passo 3

Vou usar Gauss-Jordan em [A\mid I]. Montando a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -1 & -2 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & -5 & -4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Explicando as operações: cada operação elementar em linhas corresponde a multiplicar por uma matriz elementar; no final teremos [I\mid A^{-1}]. Vou anotar cada operação e o resultado para você poder repetir na prova com calma.]

Passo 4

Primeira operação para facilitar pivô na primeira coluna: multiplicar a primeira linha por -1.
R_1 := -R_1
Fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & -5 & -4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna:
R_2 := R_2 + 2R_1,\qquad R_3 := R_3 - R_1.
Calculemos cada uma:
  • R_2+2R_1 = (-2,-5,-4)+(2,4,2)=(0,-1,-2) e a parte direita (0,1,0)+2(-1,0,0)=(-2,1,0).
  • R_3-R_1=(1,1,0)-(1,2,1)=(0,-1,-1) e a parte direita (0,0,1)-(-1,0,0)=(1,0,1).
Então a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Tornar o pivô da segunda linha igual a 1 e eliminar nas outras linhas:
R_2 := -R_2,
ficando
R_2=(0,1,2\mid 2,-1,0).
Agora zerar a coluna 2 em R_1 e R_3:
R_1 := R_1 - 2R_2,\qquad R_3 := R_3 + R_2.
Cálculos:
  • R_1-2R_2 = (1,2,1)-2(0,1,2)=(1,0,-3) e a parte direita (-1,0,0)-2(2,-1,0)=(-5,2,0).
  • R_3+R_2 = (0,-1,-1)+(0,1,2)=(0,0,1) e a parte direita (1,0,1)+(2,-1,0)=(3,-1,1).
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -3 & -5 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Usar o pivô da terceira linha (já 1) para zerar acima na coluna 3:
R_1 := R_1 + 3R_3,\qquad R_2 := R_2 - 2R_3.
Cálculos:
  • R_1+3R_3 = (1,0,-3)+3(0,0,1)=(1,0,0) e a parte direita (-5,2,0)+3(3,-1,1)=( -5+9,\\\ 2-3,\\\ 0+3)=(4,-1,3).
  • R_2-2R_3 = (0,1,2)-2(0,0,1)=(0,1,0) e a parte direita (2,-1,0)-2(3,-1,1)=(2-6,\\\ -1+2,\\\ 0-2)=(-4,1,-2).
Assim chegamos a
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 4 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -4 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & 1 \end{array}\right].
O lado esquerdo agora é a matriz identidade, logo o lado direito é A^{-1}.]

Passo 8

A matriz inversa é
B=A^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 3\\[4pt] -4 & 1 & -2\\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Portanto a entrada pedida b_{13} (primeira linha, terceira coluna) é \;3.]

Resposta

(G) 3

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