Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(6,5) e \vec{v}= (-8,-5). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(2,-1) e [\vec{v}]_{\beta}=(4,3), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -10\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -9\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -8\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -7\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -6\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados extraídos do enunciado:
A base é \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
No sistema cartesiano (base canônica), \vec{u}=(6,5) e \vec{v}=(-8,-5).
As coordenadas desses vetores na base \beta são[\vec{u}]_{\beta}=(2,-1),\qquad [\vec{v}]_{\beta}=(4,3).
O enunciado pergunta: determinar \vec{b}_{2}. Em formato de múltipla escolha, as alternativas diferem apenas na segunda componente (valores entre -10 e -3).
Observação: as coordenadas [\vec{u}]_{\beta}=(2,-1) significam que, na base \beta, \vec{u} é 2 vezes \vec{b}_{1} mais -1 vezes \vec{b}_{2}. O mesmo vale para [\vec{v}]_{\beta}.
Passo 2
Escrever as relações entre as coordenadas em \beta e as coordenadas na base canônica.
Pela definição de coordenadas relativas à base \beta:\vec{u}=2\vec{b}_{1}-1\vec{b}_{2}=2\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2},
\vec{v}=4\vec{b}_{1}+3\vec{b}_{2}.
Denotemos \vec{b}_{1}=(x_{1},y_{1}) e \vec{b}_{2}=(x_{2},y_{2}). Substituindo nas expressões acima e igualando às coordenadas conhecidas na base canônica, obtemos dois sistemas (um para as componentes x e outro para as componentes y):\text{(a) } 2x_{1}-x_{2}=6,\qquad \text{(b) } 4x_{1}+3x_{2}=-8,
Explicação rápida: cada equação vem de igualar a componente correspondente do lado esquerdo (combinação linear das \vec{b}_i) com a componente do vetor dado.
Passo 3
Resolver o sistema para as componentes x_{1},x_{2} (método de eliminação).
Reescrevendo as equações em x:2x_{1}-x_{2}=6 \quad (1)
4x_{1}+3x_{2}=-8 \quad (2)
Eliminação: multiplica (1) por 2 para igualar o coeficiente de x_{1} com (2):4x_{1}-2x_{2}=12 \quad (1')
Subtrai (1’) de (2):(4x_{1}+3x_{2})-(4x_{1}-2x_{2}) = -8 - 12.O lado esquerdo simplifica para 5x_{2} e o direito para -20. Logo5x_{2}=-20.
Dividindo por 5:x_{2}=-4.
Comentário didático: a eliminação consiste em obter uma equação com uma única incógnita somando/subtraindo múltiplos das equações originais.
Passo 4
Resolver o sistema para as componentes y_{1},y_{2} (mesmo procedimento).
Reescrevendo as equações em y:2y_{1}-y_{2}=5 \quad (3)
4y_{1}+3y_{2}=-5 \quad (4)
Multiplica (3) por 2:4y_{1}-2y_{2}=10 \quad (3')
Subtrai (3’) de (4):(4y_{1}+3y_{2})-(4y_{1}-2y_{2}) = -5 - 10.O lado esquerdo vira 5y_{2} e o direito vira -15. Assim5y_{2}=-15.
Dividindo por 5:y_{2}=-3.
Passo 5
Interpretação e checagem rápida (como fazer no exame).
Já encontramos as duas componentes de \vec{b}_{2}: x_{2}=-4 e y_{2}=-3. Portanto \vec{b}_{2}=(-4,-3).
Checagem rápida (opcional em prova): substituir \vec{b}_{2}=(-4,-3) em (1) para achar x_{1} se necessário:2x_{1}-(-4)=6 \Rightarrow 2x_{1}+4=6 \Rightarrow 2x_{1}=2 \Rightarrow x_{1}=1,e em (3) para y_{1}:2y_{1}-(-3)=5 \Rightarrow 2y_{1}+3=5 \Rightarrow 2y_{1}=2 \Rightarrow y_{1}=1.Assim \vec{b}_{1}=(1,1). Verificando \vec{u}=2\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}=2(1,1)-(-4,-3)=(2,2)+(4,3)=(6,5), tudo confere.
Dica de prova: monte sempre as equações componentes e use eliminação (ou substituição). Se só pedirem uma componente de \vec{b}_{i}, elimine a outra variável de forma direta como fizemos aqui.