Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,1)=(1,-1,-1) e T(-3,-4)=(-2,1,4). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e fornece duas imagens:
T(1,1)= (1,-1,-1).
T(-3,-4)=(-2,1,4).
O que é pedido:
Determinar a matriz A tal que T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}.
Especificamente, encontrar o valor da entrada a_{12} da matriz A.
Passo 2
Ideia básica (passo didático): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 a matriz A tem duas colunas; a primeira coluna é T(1,0) e a segunda coluna é T(0,1). Vou chamar
a = T(1,0)\in\mathbb{R}^3,\qquad b = T(0,1)\in\mathbb{R}^3,
portanto
A = \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}.
Como T é linear, para vetores dados:
T(1,1)=T(1,0)+T(0,1)=a+b,
T(-3,-4)=-3\,T(1,0)-4\,T(0,1)=-3a-4b.
Sabendo T(1,1) e T(-3,-4), podemos obter a e b resolvendo essas equações vetoriais.