Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,1)=(1,-1,-1) e T(-3,-4)=(-2,1,4). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e fornece duas imagens:
  • T(1,1)= (1,-1,-1).
  • T(-3,-4)=(-2,1,4).
O que é pedido:
  • Determinar a matriz A tal que T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}.
  • Especificamente, encontrar o valor da entrada a_{12} da matriz A.

Passo 2

Ideia básica (passo didático): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 a matriz A tem duas colunas; a primeira coluna é T(1,0) e a segunda coluna é T(0,1). Vou chamar
a = T(1,0)\in\mathbb{R}^3,\qquad b = T(0,1)\in\mathbb{R}^3,
portanto
A = \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}.
Como T é linear, para vetores dados:
T(1,1)=T(1,0)+T(0,1)=a+b,
T(-3,-4)=-3\,T(1,0)-4\,T(0,1)=-3a-4b.
Sabendo T(1,1) e T(-3,-4), podemos obter a e b resolvendo essas equações vetoriais.

Passo 3

Escrevo a e b por componentes:
a=\begin{bmatrix}a_1\a_2\a_3\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}b_1\b_2\b_3\end{bmatrix}.
As duas igualdades vetoriais produzem, componente a componente, o sistema
\begin{cases} a_1+b_1=1,\\[4pt] a_2+b_2=-1,\\[4pt] a_3+b_3=-1, \end{cases} \qquad \begin{cases} -3a_1-4b_1=-2,\\[4pt] -3a_2-4b_2=1,\\[4pt] -3a_3-4b_3=4. \end{cases}]

Passo 4

Resolver as equações da primeira componente ( 1^{\text{a}} linha).
De a_1+b_1=1 segue a_1=1-b_1. Substituindo em -3a_1-4b_1=-2:
-3(1-b_1)-4b_1=-2.
Faço as contas passo a passo:
-3+3b_1-4b_1=-2,
-3 - b_1 = -2,
-b_1 = 1,
b_1 = -1.
Então
a_1 = 1 - b_1 = 1 - (-1) = 2.

Passo 5

Resolver as equações da segunda componente ( 2^{\text{a}} linha).
De a_2+b_2=-1 segue a_2=-1-b_2. Substituindo em -3a_2-4b_2=1:
-3(-1-b_2)-4b_2=1.
Calculo:
3+3b_2-4b_2=1,
3 - b_2 = 1,
-b_2 = -2,
b_2 = 2.
Então
a_2 = -1 - b_2 = -1 - 2 = -3.

Passo 6

Resolver as equações da terceira componente ( 3^{\text{a}} linha).
De a_3+b_3=-1 segue a_3=-1-b_3. Substituindo em -3a_3-4b_3=4:
-3(-1-b_3)-4b_3=4.
Calculo:
3+3b_3-4b_3=4,
3 - b_3 = 4,
-b_3 = 1,
b_3 = -1.
Então
a_3 = -1 - b_3 = -1 - (-1) = 0.

Passo 7

Agora já tenho as colunas a e b:
a = \begin{bmatrix}2\\\ -3\\\ 0\end{bmatrix},\qquad b = \begin{bmatrix}-1\\\ 2\\\ -1\end{bmatrix}.
Logo a matriz A é
A=\begin{bmatrix} 2 & -1\\[4pt] -3 & 2\\[4pt] 0 & -1 \end{bmatrix}.
A entrada a_{12} é o elemento da primeira linha e segunda coluna, que vale -1.]

Resposta

(G) -1

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