Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)= (-x, y-z, x). Em seguida,
T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z)=(-x,;y - z,;x)
e pergunta se T é sobrejetora. O conteúdo envolvido é transformação linear, imagem e posto (rank). Para decidir sobrejetividade basta ver se diml(Im(T)r)=3.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica de R^3. Calculando as imagens dos vetores
,e1=(1,0,0), ,e2=(0,1,0), ,e3=(0,0,1):
T(e1)=(-1,0,1), T(e2)=(0,1,0), T(e3)=(0,-1,0)
Portanto a matriz de T é
A = -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 0 ,
cujos vetores-coluna são
,c1=(-1,0,1),;c2=(0,1,0),;c3=(0,-1,0).

Passo 3

Analisamos a independência linear das colunas de A. Note que
c3 = (0,-1,0) = -,c2,
logo c2 e c3 são linearly dependent. Já c1 e c2 são independentes (não há escalar lambda tal que lambda,c1=c2). Assim o posto de A é
rank(A)=2

Passo 4

Como diml(Im(T)r)=rank(A)=2<3, a imagem de T é um subespaço próprio de R^3. Logo não é todo R^3, e portanto T não é sobrejetora.

Resposta

Não, T não é sobrejetora, pois rank(A)=2<3, então Im(T)neqR^3.

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