Considere a transformação linear
dada por
. Em seguida,
T é sobrejetora? Justifique.
T é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
e pergunta se
é sobrejetora. O conteúdo envolvido é transformação linear, imagem e posto (rank). Para decidir sobrejetividade basta ver se
.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de
na base canônica de
. Calculando as imagens dos vetores
,
,
:
Portanto a matriz de
é
cujos vetores-coluna são
,c1=(-1,0,1),;c2=(0,1,0),;c3=(0,-1,0) .
Passo 3
Analisamos a independência linear das colunas de
A . Note que
logo
c2 e
c3 são linearly dependent. Já
c1 e
c2 são independentes (não há escalar
lambda tal que
lambda,c1=c2 ). Assim o posto de
A é
Passo 4
Como
diml(Im(T)r)=rank(A)=2<3 , a imagem de
T é um subespaço próprio de
R^3 . Logo não é todo
R^3 , e portanto
T não é sobrejetora.
Resposta
Não,
T não é sobrejetora, pois
rank(A)=2<3 , então
Im(T)neqR^3 .