Mostre que os seguintes subconjuntos de
são subespaços:
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
é subespaço de
. Para isso precisamos verificar três propriedades:
-
não é vazio (contém o vetor zero). - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Mostramos que o vetor zero
pertence a
. De fato, para
temos
logo
. Assim
não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
Então
,
e
Considere
. Verificamos
e a terceira coordenada é
. Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
e
O vetor
é
Calculamos
e a terceira coordenada continua sendo
. Logo
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
.