Mostre que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços:
W=(x, y, z, t) in R^4 mid x-2 y+t=0 e z=0

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z,t)in R^4 mid x - 2y + t = 0 e z = 0
e pede para mostrar que W é subespaço de R^4. Para isso precisamos verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. Se u,vin W então u+vin W.
  3. Se uin W e alphainR então alpha uin W.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero (0,0,0,0) pertence a W. De fato, para (0,0,0,0) temos
0 - 2cdot 0 + 0 = 0 e z = 0,
logo (0,0,0,0)in W. Assim W não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam
u=(x1,y1,z1,t1)in W, v=(x2,y2,z2,t2)in W
Então z1=0, z2=0 e
x1 - 2y1 + t1 = 0, x2 - 2y2 + t2 = 0
Considere u+v=(x1+x2,;y1+y2,;0+0,;t1+t2). Verificamos
(x1+x2) - 2(y1+y2) + (t1+t2) = (x1-2y1+t1) + (x2-2y2+t2) = 0 + 0 = 0,
e a terceira coordenada é 0. Logo u+vin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja u=(x,y,z,t)in W e alphainR. Então z=0 e
x - 2y + t = 0
O vetor alpha u é
alpha u = (alpha x,;alpha y,;alphacdot 0,;alpha t) = (alpha x,;alpha y,;0,;alpha t)
Calculamos
alpha x ;-;2(alpha y);+;alpha t = alpha,(x - 2y + t) = alphacdot 0 = 0,
e a terceira coordenada continua sendo 0. Logo alpha uin W.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço de R^4.

Exercícios relacionados