Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)= (-x, y-z, x). Em seguida,
Dê a dimensão da imagem de T

Passo 1

O enunciado pede a dimensão da imagem da transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z)=(-x,;y-z,;x)
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: dimensão da imagem (ou posto) de T. Para resolver, basta calcular as imagens dos vetores da base canônica e determinar um subconjunto independente que gere a imagem.

Passo 2

Vamos aplicar aos vetores da base canônica , e :
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Passo 3

Observamos que
(0,-1,0) = -,(0,1,0),
ou seja, T(0,0,1)=-T(0,1,0). Portanto basta gerar a imagem com apenas
v1 = (-1,0,1), v2 = (0,1,0)

Passo 4

Verificamos que v1 e v2 são independentes: se
alpha,(-1,0,1) + beta,(0,1,0) = (0,0,0),
então pelas componentes vem alpha=0 e beta=0. Assim v1,v2 é base de Im(T) e
diml(Im(T)r)=2

Resposta

A dimensão da imagem de T é 2.

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