1,0
a) (1,0 ponto) Encontre o polinômio característico, os autovalores e autovetores da matriz A.
b) ( 1,0 ponto) A matriz A é diagonalizável? Caso afirmativo, encontre uma matriz X e sua inversa que diagonalizam a matriz A, isto é, A=X D X^{-1}.
Passo 1
Dados do problema:
A=\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}
O que o enunciado pede:
\text{(a) Encontrar o polinômio característico, os autovalores e autovetores de }A.ôí
\text{(b) Dizer se }A\text{ é diagonalizável; em caso afirmativo, encontrar }X\text{ e }X^{-1}\text{ tais que }A=XDX^{-1}.éá
Todas as informações relevantes estão acima. Não começo a resolver aqui — só identifiquei o pedido e os dados.]
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico. Primeiro apresento a definição que usarei: o polinômio característico de uma matriz A é dado por
p(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I\bigr),
onde I é a matriz identidade e \lambda é a variável (autovalor). Para nossa matriz,
Agora encontro os autovalores resolvendo p(\lambda)=0. Para a equação quadrática \lambda^{2}-6\lambda+5=0 uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Recordando: para a\lambda^{2}+b\lambda+c=0,
Portanto os autovalores são \lambda=5 e \lambda=1.
Passo 5
Agora calculo os autovetores. Lembrete (definição/conceito): um vetor não nulo v é autovetor associado a um autovalor \lambda se (A-\lambda I)v=0. Vou resolver esse sistema para cada \lambda.
Da segunda obtemos x=-y. Escolhendo y=1 temos x=-1, portanto um autovetor conveniente é
v_{2}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix},
associado a \lambda=1.]
Passo 7
Antes de construir X e D, explico o critério simples de diagonalizabilidade para matrizes reais 2\times2: se a matriz tem dois autovalores distintos, então existem dois autovetores linearmente independentes e a matriz é diagonalizável. Aqui os autovalores são \lambda_{1}=5 e \lambda_{2}=1, distintos, logo A é diagonalizável. Outra verificação prática é mostrar que a matriz X formada por vetores próprios é invertível (determinante não nulo).
Passo 8
Construo a matriz X cujas colunas são os autovetores escolhidos na ordem correspondente e a matriz diagonal D com os autovalores na mesma ordem: