Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y)=(x-y, x+y). A respeito de T podemos afirmar que:
a) T não admite inversa;
b) T admite inversa e \left[T^{-1}\right]=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right);
c) T admite inversa e \left[T^{-1}\right]=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right);
d) T admite inversa e \left[T^{-1}\right]=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\\\ -1 & -1\end{array}\right);
e) T admite inversa e \left[T^{-1}\right]=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(x-y,\;x+y).
Pergunta-se qual das alternativas (a) a (e) é verdadeira, isto é, se T admite inversa e, em caso afirmativo, qual é a matriz de \left[T^{-1}\right].
As informações relevantes que o enunciado fornece são:
\text{o mapeamento }(x,y)\mapsto(x-y,x+y).
Não há outras condições ou bases especificadas, logo usaremos a base canônica de \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Vamos obter a matriz de T na base canônica. Para isso aplicamos T aos vetores da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1).
Calculando:
T(1,0)=(1-0,\;1+0)=(1,1),
T(0,1)=(0-1,\;0+1)=(-1,1).
A matriz de T tem como colunas as imagens de \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2. Assim
A=\left[T\right]=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para saber se T admite inversa precisamos verificar se A é invertível. Uma condição simples em \mathbb{R}^2 é o determinante: se \det(A)\neq 0, então A (e T) é invertível.
O determinante de uma matriz 2\times 2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
é dado por \det=\;ad-bc. Aqui a=1, b=-1, c=1, d=1. Então
\det(A)=1\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 1 + 1 = 2.
Como \det(A)=2\neq 0, concluímos que A é invertível e, portanto, T admite inversa.]

Passo 4

Agora vamos calcular a matriz inversa usando a fórmula padrão para inversa de 2\times2. Para
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
temos
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando aos valores a=1, b=-1, c=1, d=1 e \det(A)=2, obtemos
A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
Aqui cada símbolo significa: a,b,c,d são as entradas de A; \det(A) é o determinante; e a matriz dentro do parêntese é a matriz adjunta (trocando a e d e trocando sinais de b e c).]

Passo 5

Para fixar a ideia, mostro um método alternativo (resolver o sistema) que dá a mesma inversa e é muito útil na prova quando a fórmula não estiver decorada.
Sejam (u,v)=T(x,y)=(x-y,\;x+y)\). Temos o sistema \[\begin{cases} u = x - y,\\[4pt] v = x + y. \end{cases}
Somando as equações:
u+v = 2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{u+v}{2}.
Subtraindo a primeira da segunda:
v-u = 2y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{v-u}{2}.
Logo a inversa T^{-1}\] é \[T^{-1}(u,v)=\left(\frac{u+v}{2},\;\frac{v-u}{2}\right).\] Escrevendo em forma matricial \((x,y)^{T}=A^{-1}(u,v)^{T}, obtemos novamente
A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Vamos verificar multiplicando A por A^{-1} para confirmar que o produto é a identidade, como deve acontecer.
Calcule A\cdot A^{-1}:
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1\cdot 1 + (-1)\cdot(-1) & 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1\\[6pt] 1\cdot 1 + 1\cdot(-1) & 1\cdot 1 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
A verificação bate: produto é a matriz identidade I_2.]

Passo 7

Comparando a matriz inversa obtida
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}
com as alternativas dadas, vemos que ela corresponde exatamente à alternativa (c).]

Resposta

c)

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