Encontre as matrizes E e E^{\prime} que satisfazem E\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}y \\\ x \\\ z\end{array}\right], E^{\prime}\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}x \\\ z \\\ y\end{array}\right], para qualquer x, y, z. Verifique que E E^{\prime} é a matriz que efetua a permutação de ( x, y, z ) para ( z, x, y ) enquanto E^{\prime} E troca para (y, z, x). Cheque que a multiplicação pela esquerda das matrizes E, E^{\prime}, E E^{\prime}, E^{\prime} E, E E^{\prime} E sobre qualquer matrix A \sim 3 \times n, efetua todas as permutações de linhas possíveis.
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares sobre vetores coluna \left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right] em \mathbb{R}^3 e pede que encontremos as matrizes que as representam. Especificamente:
Queremos a matriz E tal que, para todo \,x,y,z, vale
Verificar que EE' é a matriz que leva (x,y,z) para (z,x,y).
Verificar que E'E leva (x,y,z) para (y,z,x).
Checar que, multiplicando à esquerda por E, E', EE', E'E, EE'E (e incluindo a identidade), sobre qualquer matriz A de tamanho 3\times n, obtemos todas as permutações possíveis das linhas de A.
Listei todas as informações e o que é pedido. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Método prático para construir uma matriz que representa uma transformação linear em \mathbb{R}^3:
Uma matriz M que representa uma transformação linear é completamente determinada pelas imagens dos vetores da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0,0)^T, \mathbf{e}_2=(0,1,0)^T, \mathbf{e}_3=(0,0,1)^T.
Se soubermos M\mathbf{e}_1, M\mathbf{e}_2, M\mathbf{e}_3, então essas imagens serão as colunas de M: a primeira coluna é M\mathbf{e}_1, a segunda é M\mathbf{e}_2 e a terceira é M\mathbf{e}_3.
Explicando por que isso funciona (passo-a-passo): para um vetor arbitrário \mathbf{v}=(x,y,z)^T temos \mathbf{v}=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2+z\mathbf{e}_3. Pela linearidade,
M\mathbf{v}=x M\mathbf{e}_1 + y M\mathbf{e}_2 + z M\mathbf{e}_3,
ou seja, as colunas de M multiplicadas por x,y,z geram M\mathbf{v}. Por isso a construção por colunas é a forma padrão.
Vamos usar essa ideia para achar E e E'.
Passo 3
Construção da matriz E que troca x e y (ou seja, envia (x,y,z) para (y,x,z)).
Aplicamos a transformação aos vetores da base:
\mathbf{e}_1=(1,0,0)^T é enviada para (0,1,0)^T porque trocar x e y transforma (1,0,0) em (0,1,0).
\mathbf{e}_2=(0,1,0)^T é enviada para (1,0,0)^T.
\mathbf{e}_3=(0,0,1)^T é enviada para (0,0,1)^T (a coordenada z fica no lugar).
onde cada \mathbf{a}_j é um vetor coluna em \mathbb{R}^3. Multiplicar A à esquerda por uma matriz de permutação P (como E ou E' ou quaisquer composições) dá
Cada coluna P\mathbf{a}_j é simplesmente a permutação das componentes de \mathbf{a}_j. Permutar as componentes de cada coluna equivale a permutar as linhas de toda a matriz A (porque as linhas são compostas pelas componentes correspondentes das colunas). Portanto, multiplicar à esquerda por P implementa a mesma permutação em todas as colunas — isto é, permuta as linhas de A.
E A=\begin{pmatrix}0&1&0\\[2pt]1&0&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[2pt]a_{21}&a_{22}\\[2pt]a_{31}&a_{32}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\[2pt]a_{11}&a_{12}\\[2pt]a_{31}&a_{32}\end{pmatrix},
que é exatamente a matriz A com a primeira e segunda linhas trocadas. O mesmo vale para as outras permutações: multiplicar por EE', E'E, etc., reordena as linhas conforme a permutação correspondente.]
Passo 9
Resumo final do que foi encontrado e verificado:
Construímos explicitamente E e E' pelas imagens da base canônica.
Calculamos as composições EE',E'E,EE'E e mostramos explicitamente que cada produto corresponde à permutação indicada (aplicação ao vetor (x,y,z)^T).
Demonstramos que, para qualquer matriz A de tamanho 3\times n, a multiplicação pela esquerda por essas matrizes aplica a mesma permutação a cada coluna, ou seja, permuta as linhas de A.
Assim, as matrizes I,E,E',EE',E'E,EE'E realizam todas as 6 permutações possíveis das linhas de uma matriz 3\times n.
As matrizes \,I,\;E,\;E',\;EE',\;E'E,\;EE'E (onde I é a identidade) realizam, pela multiplicação à esquerda sobre qualquer 3\times n matriz A, todas as 6 permutações possíveis das linhas de A.]