Encontre as matrizes E e E^{\prime} que satisfazem E\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}y \\\ x \\\ z\end{array}\right], E^{\prime}\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}x \\\ z \\\ y\end{array}\right], para qualquer x, y, z. Verifique que E E^{\prime} é a matriz que efetua a permutação de ( x, y, z ) para ( z, x, y ) enquanto E^{\prime} E troca para (y, z, x). Cheque que a multiplicação pela esquerda das matrizes E, E^{\prime}, E E^{\prime}, E^{\prime} E, E E^{\prime} E sobre qualquer matrix A \sim 3 \times n, efetua todas as permutações de linhas possíveis.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares sobre vetores coluna \left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right] em \mathbb{R}^3 e pede que encontremos as matrizes que as representam. Especificamente:
  • Queremos a matriz E tal que, para todo \,x,y,z, vale
E\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}y\x\z\end{array}\right].
  • Queremos a matriz E' tal que, para todo \,x,y,z, vale
E'\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\z\y\end{array}\right].
Além disso o enunciado pede:
  • Verificar que EE' é a matriz que leva (x,y,z) para (z,x,y).
  • Verificar que E'E leva (x,y,z) para (y,z,x).
  • Checar que, multiplicando à esquerda por E, E', EE', E'E, EE'E (e incluindo a identidade), sobre qualquer matriz A de tamanho 3\times n, obtemos todas as permutações possíveis das linhas de A.
Listei todas as informações e o que é pedido. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Método prático para construir uma matriz que representa uma transformação linear em \mathbb{R}^3:
  • Uma matriz M que representa uma transformação linear é completamente determinada pelas imagens dos vetores da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0,0)^T, \mathbf{e}_2=(0,1,0)^T, \mathbf{e}_3=(0,0,1)^T.
  • Se soubermos M\mathbf{e}_1, M\mathbf{e}_2, M\mathbf{e}_3, então essas imagens serão as colunas de M: a primeira coluna é M\mathbf{e}_1, a segunda é M\mathbf{e}_2 e a terceira é M\mathbf{e}_3.
    Explicando por que isso funciona (passo-a-passo): para um vetor arbitrário \mathbf{v}=(x,y,z)^T temos \mathbf{v}=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2+z\mathbf{e}_3. Pela linearidade,
M\mathbf{v}=x M\mathbf{e}_1 + y M\mathbf{e}_2 + z M\mathbf{e}_3,
ou seja, as colunas de M multiplicadas por x,y,z geram M\mathbf{v}. Por isso a construção por colunas é a forma padrão.
Vamos usar essa ideia para achar E e E'.

Passo 3

Construção da matriz E que troca x e y (ou seja, envia (x,y,z) para (y,x,z)).
Aplicamos a transformação aos vetores da base:
  • \mathbf{e}_1=(1,0,0)^T é enviada para (0,1,0)^T porque trocar x e y transforma (1,0,0) em (0,1,0).
  • \mathbf{e}_2=(0,1,0)^T é enviada para (1,0,0)^T.
  • \mathbf{e}_3=(0,0,1)^T é enviada para (0,0,1)^T (a coordenada z fica no lugar).
Colocando essas imagens como colunas, obtemos
E=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida: para \mathbf{v}=(x,y,z)^T,
E\mathbf{v}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y\x\z\end{pmatrix},
como desejado.]

Passo 4

Construção da matriz E' que troca y e z (ou seja, envia (x,y,z) para (x,z,y)).
Imagens da base:
  • \mathbf{e}_1=(1,0,0)^T \mapsto (1,0,0)^T (primeira coordenada x fica).
  • \mathbf{e}_2=(0,1,0)^T \mapsto (0,0,1)^T.
  • \mathbf{e}_3=(0,0,1)^T \mapsto (0,1,0)^T.
Colunas são essas imagens, então
E'=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Verificação: para \mathbf{v}=(x,y,z)^T,
E'\mathbf{v}= \begin{pmatrix}x\z\y\end{pmatrix},
ok.]

Passo 5

Agora calculamos o produto EE' e mostramos que ele leva (x,y,z) para (z,x,y).
Calculemos a matriz EE' multiplicando explicitamente:
E=\begin{pmatrix}0&1&0\\[2pt]1&0&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix},\qquad E'=\begin{pmatrix}1&0&0\\[2pt]0&0&1\\[2pt]0&1&0\end{pmatrix}.
Multiplicando linha por coluna (faça mentalmente ou à mão, passo a passo):
EE'=\begin{pmatrix} 0&0&1\\[2pt] 1&0&0\\[2pt] 0&1&0 \end{pmatrix}.
Agora aplicando a um vetor \mathbf{v}=(x,y,z)^T,
EE'\mathbf{v}= \begin{pmatrix}0&0&1\\[2pt]1&0&0\\[2pt]0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}z\x\y\end{pmatrix}.
Logo EE' efetua a permutação (x,y,z)\mapsto(z,x,y), como pedido.]

Passo 6

Calculemos E'E e mostremos que leva (x,y,z) para (y,z,x).
Multiplicando E' por E:
E'E=\begin{pmatrix} 0&1&0\\[2pt] 0&0&1\\[2pt] 1&0&0 \end{pmatrix}.
Aplicação em \mathbf{v}=(x,y,z)^T:
E'E\mathbf{v}= \begin{pmatrix}0&1&0\\[2pt]0&0&1\\[2pt]1&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y\z\x\end{pmatrix}.
Portanto E'E (x,y,z)\mapsto(y,z,x), conforme o enunciado.]

Passo 7

Vamos obter as demais permutações possíveis compondo essas matrizes (mostrando que com I,E,E',EE',E'E,EE'E obtemos as 6 permutações de 3 elementos).
Já temos:
  • Identidade \,I=\begin{pmatrix}1&0&0\\[2pt]0&1&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix} que deixa (x,y,z) como está: (x,y,z).
  • E : (x,y,z)\mapsto(y,x,z).
  • E' : (x,y,z)\mapsto(x,z,y).
  • EE' : (x,y,z)\mapsto(z,x,y).
  • E'E : (x,y,z)\mapsto(y,z,x).
Falta apenas a permutação que leva (x,y,z) para (z,y,x). Podemos tomar EE'E=(EE')E. Calculando:
EE'E=\begin{pmatrix} 0&0&1\\[2pt] 0&1&0\\[2pt] 1&0&0 \end{pmatrix},
e de fato
EE'E\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z\y\x\end{pmatrix}.
Assim temos as seis matrizes correspondentes às seis permutações de (x,y,z).
Obs.: essas seis matrizes formam o grupo das permutações de três elementos (o grupo simétrico S_3), gerado pelas transposições E e E'.]

Passo 8

Agora verificamos por que multiplicar à esquerda por essas matrizes permuta as linhas de qualquer matriz A de tamanho 3\times n.
Seja A uma matriz 3\times n. Escreva A por colunas:
A=\begin{pmatrix} | & | & & | \\[2pt] \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \\[2pt] | & | & & | \end{pmatrix},
onde cada \mathbf{a}_j é um vetor coluna em \mathbb{R}^3. Multiplicar A à esquerda por uma matriz de permutação P (como E ou E' ou quaisquer composições) dá
PA=\begin{pmatrix}P\mathbf{a}_1 & P\mathbf{a}_2 & \cdots & P\mathbf{a}_n\end{pmatrix}.
Cada coluna P\mathbf{a}_j é simplesmente a permutação das componentes de \mathbf{a}_j. Permutar as componentes de cada coluna equivale a permutar as linhas de toda a matriz A (porque as linhas são compostas pelas componentes correspondentes das colunas). Portanto, multiplicar à esquerda por P implementa a mesma permutação em todas as colunas — isto é, permuta as linhas de A.
Exemplo concreto (ilustrativo): tome
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[2pt]a_{21}&a_{22}\\[2pt]a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}.
Então
E A=\begin{pmatrix}0&1&0\\[2pt]1&0&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[2pt]a_{21}&a_{22}\\[2pt]a_{31}&a_{32}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\[2pt]a_{11}&a_{12}\\[2pt]a_{31}&a_{32}\end{pmatrix},
que é exatamente a matriz A com a primeira e segunda linhas trocadas. O mesmo vale para as outras permutações: multiplicar por EE', E'E, etc., reordena as linhas conforme a permutação correspondente.]

Passo 9

Resumo final do que foi encontrado e verificado:
  • Construímos explicitamente E e E' pelas imagens da base canônica.
  • Calculamos as composições EE',E'E,EE'E e mostramos explicitamente que cada produto corresponde à permutação indicada (aplicação ao vetor (x,y,z)^T).
  • Demonstramos que, para qualquer matriz A de tamanho 3\times n, a multiplicação pela esquerda por essas matrizes aplica a mesma permutação a cada coluna, ou seja, permuta as linhas de A.
  • Assim, as matrizes I,E,E',EE',E'E,EE'E realizam todas as 6 permutações possíveis das linhas de uma matriz 3\times n.

Resposta

E=\begin{pmatrix}0&1&0\\[2pt]1&0&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix}
E'=\begin{pmatrix}1&0&0\\[2pt]0&0&1\\[2pt]0&1&0\end{pmatrix}
EE'=\begin{pmatrix}0&0&1\\[2pt]1&0&0\\[2pt]0&1&0\end{pmatrix} (efetua (x,y,z)\mapsto(z,x,y))
E'E=\begin{pmatrix}0&1&0\\[2pt]0&0&1\\[2pt]1&0&0\end{pmatrix} (efetua (x,y,z)\mapsto(y,z,x))
EE'E=\begin{pmatrix}0&0&1\\[2pt]0&1&0\\[2pt]1&0&0\end{pmatrix} (efetua (x,y,z)\mapsto(z,y,x))
As matrizes \,I,\;E,\;E',\;EE',\;E'E,\;EE'E (onde I é a identidade) realizam, pela multiplicação à esquerda sobre qualquer 3\times n matriz A, todas as 6 permutações possíveis das linhas de A.]

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