Seja A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]. Escreva A e A^{-1} como um produto de matrizes elementares. Cheque o produto.
e pede: escrever A e A^{-1} como produto de matrizes elementares e checar o produto.
Informações relevantes: as entradas de A estão acima; devemos produzir matrizes elementares E_i (matrizes que representam operações elementares de linha) tais que seja possível escrever A e A^{-1} como produtos dessas matrizes. A resolução começa a seguir.]
Passo 2
O que é uma matriz elementar? Vamos explicar devagarinho. Uma matriz elementar é construída a partir da matriz identidade aplicando-se uma única operação elementar de linha. Há três tipos básicos:
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo (ex.: R_i\leftarrow cR_i). A matriz elementar correspondente é uma matriz diagonal que tem esse escalar na posição (i,i).
Trocar duas linhas (ex.: R_i\leftrightarrow R_j). A matriz elementar correspondente é uma matriz permutação (troca as linhas da identidade).
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra (ex.: R_i\leftarrow R_i + cR_j). A matriz elementar é I + cE_{ij}, onde E_{ij} tem 1 na posição (i,j) e zeros nas outras posições.
Quando multiplicamos uma matriz M pela esquerda por uma matriz elementar E, a nova matriz é o resultado de aplicar a operação de linha correspondente a M. Isso é o que vamos usar: aplicar uma sequência de operações de linha a A até obter I. Se encontrarmos matrizes elementares E_1,\dots,E_k tais que
E_k\cdots E_2 E_1 A = I,
então, multiplicando à direita por A^{-1}, obtemos
E_k\cdots E_2 E_1 = A^{-1}.
Logo A^{-1} é o produto das matrizes elementares usadas para reduzir A a I. E A é o inverso desse produto, que também é um produto de matrizes elementares (as inversas das usadas, em ordem inversa).
Passo 3
Vamos reduzir A a I por operações de linha, anotando a matriz elementar correspondente a cada passo. Começamos com A.
Passo (1): tornar o pivô em (1,1) igual a 1 fazendo R_1\leftarrow \tfrac{1}{3}R_1.
A matriz elementar é
Agora multiplicamos em sequência E_8 E_7 E_6 E_5 E_4 E_3 E_2 E_1 (pode-se aplicar essas matrizes à identidade uma a uma) para obter explicitamente A^{-1}. Aplicando-as passo a passo à matriz identidade obtemos
Multiplicando linhas de A por colunas de A^{-1} obtemos:
primeira linha de A vezes as colunas de A^{-1}: (1,0,0);
segunda linha vezes colunas: (0,1,0);
terceira linha vezes colunas: (0,0,1).
Portanto A\,A^{-1}=I. (Isso confirma que a sequência de matrizes elementares está correta.)]
Passo 9
Agora escrevemos A como produto de matrizes elementares: como A^{-1}=E_8\cdots E_1, temos