Seja A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]. Escreva A e A^{-1} como um produto de matrizes elementares. Cheque o produto.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 1 & -2 \\[4pt] -1 & 0 & 1 \\[4pt] -1 & -1 & 1\end{pmatrix}
e pede: escrever A e A^{-1} como produto de matrizes elementares e checar o produto.
Informações relevantes: as entradas de A estão acima; devemos produzir matrizes elementares E_i (matrizes que representam operações elementares de linha) tais que seja possível escrever A e A^{-1} como produtos dessas matrizes. A resolução começa a seguir.]

Passo 2

O que é uma matriz elementar? Vamos explicar devagarinho. Uma matriz elementar é construída a partir da matriz identidade aplicando-se uma única operação elementar de linha. Há três tipos básicos:
  1. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo (ex.: R_i\leftarrow cR_i). A matriz elementar correspondente é uma matriz diagonal que tem esse escalar na posição (i,i).
  2. Trocar duas linhas (ex.: R_i\leftrightarrow R_j). A matriz elementar correspondente é uma matriz permutação (troca as linhas da identidade).
  3. Adicionar a uma linha um múltiplo de outra (ex.: R_i\leftarrow R_i + cR_j). A matriz elementar é I + cE_{ij}, onde E_{ij} tem 1 na posição (i,j) e zeros nas outras posições.
Quando multiplicamos uma matriz M pela esquerda por uma matriz elementar E, a nova matriz é o resultado de aplicar a operação de linha correspondente a M. Isso é o que vamos usar: aplicar uma sequência de operações de linha a A até obter I. Se encontrarmos matrizes elementares E_1,\dots,E_k tais que
E_k\cdots E_2 E_1 A = I,
então, multiplicando à direita por A^{-1}, obtemos
E_k\cdots E_2 E_1 = A^{-1}.
Logo A^{-1} é o produto das matrizes elementares usadas para reduzir A a I. E A é o inverso desse produto, que também é um produto de matrizes elementares (as inversas das usadas, em ordem inversa).

Passo 3

Vamos reduzir A a I por operações de linha, anotando a matriz elementar correspondente a cada passo. Começamos com A.
Passo (1): tornar o pivô em (1,1) igual a 1 fazendo R_1\leftarrow \tfrac{1}{3}R_1.
A matriz elementar é
E_1=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando E_1 em A faz R_1 virar \bigl(1,\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr).
Passo (2): zerar a entrada (2,1) usando R_2\leftarrow R_2 + R_1.
A matriz elementar é
E_2=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Passo (3): zerar a entrada (3,1) usando R_3\leftarrow R_3 + R_1.
A matriz elementar é
E_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Após E_3E_2E_1A a matriz fica (cálculo intermediário mostrado por clareza)
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 0 & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Continuamos com pivô na coluna 2.
Passo (4): fazer R_2\leftarrow 3R_2 para obter pivô 1 em (2,2).
A matriz elementar é
E_4=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Após E_4E_3E_2E_1A obtemos
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
Passo (5): zerar a entrada (1,2) usando R_1\leftarrow R_1 - \tfrac{1}{3}R_2.
A matriz elementar é
E_5=\begin{pmatrix}1 & -\tfrac{1}{3} & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando-a obtemos R_1=(1,0,-1).
Passo (6): zerar a entrada (3,2) usando R_3\leftarrow R_3 + \tfrac{2}{3}R_2.
A matriz elementar é
E_6=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{2}{3} & 1\end{pmatrix}.
Após esses passos a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora pivô na coluna 3 já é 1 em (3,3). Eliminamos acima:
Passo (7): zerar (1,3) com R_1\leftarrow R_1 + R_3.
A matriz elementar é
E_7=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Isso torna R_1=(1,0,0).
Passo (8): zerar (2,3) com R_2\leftarrow R_2 - R_3.
A matriz elementar é
E_8=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando em sequência todas as E_i obtemos
E_8 E_7 E_6 E_5 E_4 E_3 E_2 E_1 A = I.
Portanto, por identidade já vista, temos
A^{-1} = E_8 E_7 E_6 E_5 E_4 E_3 E_2 E_1.]

Passo 6

Vamos escrever explicitamente cada E_i (já definidos) para termos tudo à mão:
E_1=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 1\end{pmatrix},
E_4=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_5=\begin{pmatrix}1 & -\tfrac{1}{3} & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_6=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{2}{3} & 1\end{pmatrix},
E_7=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_8=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora multiplicamos em sequência E_8 E_7 E_6 E_5 E_4 E_3 E_2 E_1 (pode-se aplicar essas matrizes à identidade uma a uma) para obter explicitamente A^{-1}. Aplicando-as passo a passo à matriz identidade obtemos
A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 2 & 1\end{pmatrix}.
(Em Passos anteriores já explicamos que E_8\cdots E_1 A=I; aqui mostramos o resultado numérico final da multiplicação das E_i.)]

Passo 8

Vamos checar o produto: multiplicamos A por A^{-1} e verificamos que dá I.
Calcule A\cdot A^{-1} com
A=\begin{pmatrix}3 & 1 & -2 \\[4pt] -1 & 0 & 1 \\[4pt] -1 & -1 & 1\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 2 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando linhas de A por colunas de A^{-1} obtemos:
primeira linha de A vezes as colunas de A^{-1}: (1,0,0);
segunda linha vezes colunas: (0,1,0);
terceira linha vezes colunas: (0,0,1).
Portanto A\,A^{-1}=I. (Isso confirma que a sequência de matrizes elementares está correta.)]

Passo 9

Agora escrevemos A como produto de matrizes elementares: como A^{-1}=E_8\cdots E_1, temos
A = \bigl(E_8 E_7 E_6 E_5 E_4 E_3 E_2 E_1\bigr)^{-1} = E_1^{-1} E_2^{-1} E_3^{-1} E_4^{-1} E_5^{-1} E_6^{-1} E_7^{-1} E_8^{-1}.
As inversas são também matrizes elementares fáceis de escrever:
E_1^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_2^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] -1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_3^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] -1 & 0 & 1\end{pmatrix},
E_4^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_5^{-1}=\begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{3} & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_6^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & -\tfrac{2}{3} & 1\end{pmatrix},
E_7^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_8^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando estas oito matrizes (na ordem escrita) obtemos A.]

Resposta

A = E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}E_5^{-1}E_6^{-1}E_7^{-1}E_8^{-1}, com
E_1^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\; E_2^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] -1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\; E_3^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] -1 & 0 & 1\end{pmatrix},
E_4^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\; E_5^{-1}=\begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{3} & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\; E_6^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & -\tfrac{2}{3} & 1\end{pmatrix},
E_7^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\; E_8^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
A^{-1}=E_8E_7E_6E_5E_4E_3E_2E_1=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 2 & 1\end{pmatrix}.]

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