Considere a transformação linear
, definida por
. Determine:
a)
b)
c) uma base da imagem de
a)
b)
c) uma base da imagem de
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
As perguntas são:
a) Calcular .
b) Calcular .
c) Determinar uma base da imagem de (ou seja, uma base de
).
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de para qualquer vetor
; domínio
e contradomínio
.
a) Calcular
b) Calcular
c) Determinar uma base da imagem de
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de
Passo 2
Vamos calcular
aplicando a fórmula componente a componente. Para um vetor
temos as três componentes:
Agora substituímos
e
:
Passo 3
Calculemos os valores numéricos do passo anterior:
Portanto
Pequena nota didática: avaliar uma transformação linear em um vetor é coisa de substituir as coordenadas do vetor na fórmula da transformação, componente a componente.
Passo 4
Agora
. Substituímos
e
nas fórmulas das componentes:
Logo
Comentário didático: por linearidade, qualquer transformação linear satisfaz
; aqui isso aparece diretamente ao calcular.
Passo 5
Para encontrar
(a imagem), uso um método padrão: a imagem é o subespaço gerado pelas imagens dos vetores de uma base do domínio. Uma base natural de
é
com
Calculo
e
.
Passo 6
Calcule
:
Portanto
Passo 7
Calcule
:
Portanto
Passo 8
A partir dos passos anteriores sabemos que
Agora preciso verificar se esses dois vetores são linearmente independentes; se sim, eles já formam uma base da imagem.
Passo 9
Verificação de independência linear: suponha que existam escalares
tais que
Isso gera o sistema de equações em cada componente:
Passo 10
Resolva o sistema do passo anterior. Da terceira equação vem
Substituindo
na segunda equação:
Como a única solução é
, os vetores
e
são linearmente independentes.
Passo 11
Conclusão sobre a imagem: como os dois vetores são independentes e geram
, eles formam uma base de
. Portanto
e uma base explícita é
Resposta
(a)
(b)
(c) Uma base de é
(b)
(c) Uma base de