Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por T(x, y)=(2 x-y, x+y, 3 x). Determine:
a) T(3,2)
b) T(0,0)
c) uma base da imagem de T

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y)=(2x-y,\;x+y,\;3x).
As perguntas são:
a) Calcular T(3,2).
b) Calcular T(0,0).
c) Determinar uma base da imagem de T (ou seja, uma base de \mathrm{Im}(T)).
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de T para qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2; domínio \mathbb{R}^2 e contradomínio \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos calcular T(3,2) aplicando a fórmula componente a componente. Para um vetor (x,y) temos as três componentes:
\text{1ª componente } = 2x - y,ª
\text{2ª componente } = x + y,ª
\text{3ª componente } = 3x.ª
Agora substituímos x=3 e y=2:
2x-y = 2\cdot 3 - 2,
x+y = 3 + 2,
3x = 3\cdot 3.

Passo 3

Calculemos os valores numéricos do passo anterior:
2\cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4,
3 + 2 = 5,
3\cdot 3 = 9.
Portanto
T(3,2) = (4,\,5,\,9).
Pequena nota didática: avaliar uma transformação linear em um vetor é coisa de substituir as coordenadas do vetor na fórmula da transformação, componente a componente.

Passo 4

Agora T(0,0). Substituímos x=0 e y=0 nas fórmulas das componentes:
2x-y = 2\cdot 0 - 0 = 0,
x+y = 0 + 0 = 0,
3x = 3\cdot 0 = 0.
Logo
T(0,0) = (0,\,0,\,0).
Comentário didático: por linearidade, qualquer transformação linear satisfaz T(0)=0; aqui isso aparece diretamente ao calcular.

Passo 5

Para encontrar \mathrm{Im}(T) (a imagem), uso um método padrão: a imagem é o subespaço gerado pelas imagens dos vetores de uma base do domínio. Uma base natural de \mathbb{R}^2 é \{e_1,e_2\} com
e_1=(1,0),\qquad e_2=(0,1).
Calculo T(e_1) e T(e_2).

Passo 6

Calcule T(e_1)=T(1,0):
2x-y = 2\cdot 1 - 0 = 2,
x+y = 1 + 0 = 1,
3x = 3\cdot 1 = 3.
Portanto
T(1,0) = (2,\,1,\,3).

Passo 7

Calcule T(e_2)=T(0,1):
2x-y = 2\cdot 0 - 1 = -1,
x+y = 0 + 1 = 1,
3x = 3\cdot 0 = 0.
Portanto
T(0,1) = (-1,\,1,\,0).

Passo 8

A partir dos passos anteriores sabemos que
\mathrm{Im}(T)=\operatorname{span}\{T(1,0),\;T(0,1)\}=\operatorname{span}\{(2,1,3),\;(-1,1,0)\}.
Agora preciso verificar se esses dois vetores são linearmente independentes; se sim, eles já formam uma base da imagem.

Passo 9

Verificação de independência linear: suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a(2,1,3)+b(-1,1,0)=(0,0,0).
Isso gera o sistema de equações em cada componente:
2a - b = 0,
a + b = 0,
3a + 0\cdot b = 0.

Passo 10

Resolva o sistema do passo anterior. Da terceira equação vem
3a = 0 \implies a=0.
Substituindo a=0 na segunda equação:
0 + b = 0 \implies b=0.
Como a única solução é a=b=0, os vetores (2,1,3) e (-1,1,0) são linearmente independentes.

Passo 11

Conclusão sobre a imagem: como os dois vetores são independentes e geram \mathrm{Im}(T), eles formam uma base de \mathrm{Im}(T). Portanto \dim(\mathrm{Im}(T))=2 e uma base explícita é
\{(2,1,3),\;(-1,1,0)\}.

Resposta

(a) T(3,2)=(4,\,5,\,9)
(b) T(0,0)=(0,\,0,\,0)
(c) Uma base de \mathrm{Im}(T) é \{(2,1,3),\;(-1,1,0)\}

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