Determinar as coordenadas do vetor
em relação a base
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e a base
.
A pergunta é: determinar as coordenadas de em relação à base
; isto é, encontrar escalares
e
tais que
.
Informações dadas: , os vetores da base são
e
.
A pergunta é: determinar as coordenadas de
Informações dadas:
Passo 2
O que significa "coordenadas de
em relação a
"? É encontrar números
e
tais que
seja uma combinação linear dos vetores da base:
, onde
e
.
Isso transforma o problema em resolver um sistema de equações lineares obtido comparando cada componente (primeira coordenada, segunda coordenada).
Isso transforma o problema em resolver um sistema de equações lineares obtido comparando cada componente (primeira coordenada, segunda coordenada).
Passo 3
Vamos escrever a igualdade como uma equação de vetores:
Explicando:
e
. Somando componente a componente obtemos as equações para as duas coordenadas.
Passo 4
Escrevendo as componentes explicitamente obtemos o sistema:
Comparando as primeiras coordenadas:
Comparando as segundas coordenadas:
Da segunda equação já encontramos
.
Passo 5
Substituímos
na primeira equação
:
Isso dá
Somando
em ambos os lados:
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): recombinar com os valores achados:
Está correto. Dica prática: se um dos vetores da base tem componente zero numa posição, às vezes você consegue achar diretamente uma das coordenadas; aqui a segunda componente do primeiro vetor é zero, o que facilitou achar
.