Determinar as coordenadas do vetor \vec{v}=(5,-1) em relação a base \beta=\{(1,0),(2,1)\}

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(5,-1) e a base \beta=\{(1,0),(2,1)\}.
A pergunta é: determinar as coordenadas de \vec{v} em relação à base \beta; isto é, encontrar escalares \,a e \,b tais que \vec{v}=a(1,0)+b(2,1).
Informações dadas: \vec{v}=(5,-1), os vetores da base são (1,0) e (2,1).

Passo 2

O que significa "coordenadas de \vec{v} em relação a \beta"? É encontrar números \,a e \,b tais que \vec{v} seja uma combinação linear dos vetores da base: \vec{v}=a\vec{e}_1+b\vec{e}_2, onde \vec{e}_1=(1,0) e \vec{e}_2=(2,1).
Isso transforma o problema em resolver um sistema de equações lineares obtido comparando cada componente (primeira coordenada, segunda coordenada).

Passo 3

Vamos escrever a igualdade como uma equação de vetores:
a(1,0)+b(2,1)=(5,-1).
Explicando: a(1,0)=(a,0) e b(2,1)=(2b,b). Somando componente a componente obtemos as equações para as duas coordenadas.

Passo 4

Escrevendo as componentes explicitamente obtemos o sistema:
(a,0)+(2b,b)=(5,-1).
Comparando as primeiras coordenadas:
a+2b=5.
Comparando as segundas coordenadas:
0+b=b=-1.
Da segunda equação já encontramos b=-1.

Passo 5

Substituímos b=-1 na primeira equação a+2b=5:
a+2(-1)=5.
Isso dá
a-2=5.
Somando 2 em ambos os lados:
a=7.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): recombinar com os valores achados:
7(1,0)+(-1)(2,1)=(7,0)+(-2,-1)=(5,-1)=\vec{v}.
Está correto. Dica prática: se um dos vetores da base tem componente zero numa posição, às vezes você consegue achar diretamente uma das coordenadas; aqui a segunda componente do primeiro vetor é zero, o que facilitou achar b.

Resposta

[\vec{v}]_{\beta}=(7,-1)

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