Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por
T(x, y, z)=(x+2 y-z, y+z, x-y+3 z)
(a) Encontre a imagem de T.
(b) Utilizando os vetores encontrados na imagem de T, determine uma base para a imagem.
(c) Considere o plano no \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores da base da imagem de T. Este será o plano sobre o qual projetaremos o vetor \mathbf{u}=(1,2,3). Existe um plano definido? quantos planos podemos definir? em caso de mais de um, determine um deles apresentando a sua equação.
(d) Projete ortogonalmente o vetor \mathbf{u}=(1,2,3) sobre o plano definido na etapa anterior.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(x+2y-z,\; y+z,\; x-y+3z)
e pede quatro coisas:
(a) encontrar a imagem de T (isto é, \operatorname{Im}(T));
(b) usando vetores encontrados na imagem, determinar uma base da imagem;
(c) considerar “o plano gerado pelos vetores da base da imagem de T” e responder se tal plano está bem definido, quantos planos podemos definir, e — se houver mais de um — determinar um deles e dar sua equação;
(d) projetar ortogonalmente o vetor \mathbf{u}=(1,2,3) sobre o plano escolhido em (c).
Informações relevantes dadas diretamente pelo enunciado:
A regra de T para um vetor (x,y,z) está explicitada acima.
O vetor a projetar é \mathbf{u}=(1,2,3).
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as imagens dos vetores canônicos da base (isso ajuda a encontrar a imagem/coluna de T). Os vetores canônicos são \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1). Aplicando T:
Observação didática curta: a imagem de uma transformação linear é gerada pelas imagens dos vetores de uma base (por exemplo, a base canônica). Assim \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}. Agora precisamos decidir se esses vetores são independentes e qual é a dimensão da imagem.
Passo 3
Determinar a independência linear de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 via redução de matrizes (vou montar a matriz cujas colunas são \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3):
A matriz triangular obtida tem pivôs não nulos em todas as três linhas/colunas (o elemento 7 é não nulo). Portanto o posto de A é 3. Conclusão: os vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 3.
Comentário didático: se três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes, eles formam uma base de \mathbb{R}^3. O posto =3 indica que a imagem tem dimensão 3.]
Passo 4
Concluir (a) e (b) com explicações:
(a) Como \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} tem dimensão 3 em \mathbb{R}^3, segue que
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
(b) Uma base para \operatorname{Im}(T) pode ser escolhida como os próprios vetores colunas encontrados (pois são independentes):
Explicação didática: uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço; já vimos a independência e que geram \mathbb{R}^3.
Passo 5
Análise da parte (c): o enunciado pede “o plano no \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores da base da imagem de T”. Aqui atenção conceitual: uma base da imagem tem três vetores que geram todo \mathbb{R}^3. Um plano é um subespaço de dimensão 2. Pergunta: “Existe um plano definido? quantos planos podemos definir?” Resposta lógica:
Não existe um PLANO único determinado pelos três vetores, porque três vetores linearmente independentes não ficam contidos num mesmo plano (eles geram todo \mathbb{R}^3). Portanto não há um plano único “o plano gerado pelos vetores da base”.
Podemos, porém, escolher quaisquer dois vetores linearmente independentes dentre os três para gerar um plano (qualquer par linearmente independente define um plano que passa pela origem). Há infinitas escolhas de pares (e, mais ainda, infinitos planos através da origem contidos em \mathbb{R}^3 que podem ser gerados por combinações de vetores da imagem). Conclusão: há infinitos planos possíveis (não um único).
Agora vou determinar explicitamente um desses planos (cumprindo a exigência de “em caso de mais de um, determine um deles apresentando a sua equação”). Vou escolher o plano gerado por \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2:
Determinar a equação do plano \Pi escolhido. Método: encontrar um vetor normal \mathbf{n} a \Pi fazendo o produto vetorial (cross product) \mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2.
Breve aula prática sobre produto vetorial:
O produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} em \mathbb{R}^3 produz um vetor perpendicular tanto a \mathbf{a} quanto a \mathbf{b}.
Se \mathbf{n}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}, então a equação do plano gerado por \mathbf{a} e \mathbf{b} que passa pela origem é \mathbf{n}\cdot (x,y,z)=0.
Explicação: \operatorname{proj}_{\mathbf{n}}(\mathbf{u}) é a componente de \mathbf{u} na direção orthonormal de \mathbf{n}; subtraindo-a de \mathbf{u} retiramos a componente perpendicular ao plano, obtendo a projeção no plano.
Passo 8
Calcular os produtos escalares necessários. Lembrando \mathbf{n}=(-1,3,1) e \mathbf{u}=(1,2,3).
Cálculo do produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{n}:
(b) Uma base da imagem é \{(1,0,1),(2,1,-1),(-1,1,3)\}
(c) Não existe um único plano determinado pelos três vetores da base (eles geram \mathbb{R}^3); há infinitos planos possíveis. Um exemplo de plano gerado por dois vetores da base é \Pi=\operatorname{span}\{(1,0,1),(2,1,-1)\}, cuja equação é -x+3y+z=0