Considere o ângulo entre planos como o ângulo entre as suas retas normais. Ache os ângulos entre os planos:
x+2 y-3 z=8 e 2 x+4 y-6 z+31=0

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos e pede o ângulo entre esses planos. As equações fornecidas são:
x+2y-3z=8
2x+4y-6z+31=0
O que se quer: o valor do ângulo entre esses dois planos.

Passo 2

Entender o que podemos extrair diretamente das equações. Para cada plano, os coeficientes de x, y e z formam um vetor normal ao plano. Vou listar esses vetores normais (peguei os coeficientes das equações dadas):
\mathbf{n}_1 = (1,\,2,\,-3)
\mathbf{n}_2 = (2,\,4,\,-6)
Observação importante (conceitual e muito usada em provas): o ângulo entre dois planos é definido como o ângulo entre seus vetores normais. Então basta achar o ângulo entre \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2.

Passo 3

Vou explicar a ferramenta principal que vamos usar: produto escalar (dot product) e a fórmula do ângulo entre vetores.
Definição do produto escalar para vetores em \mathbb{R}^3: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
A norma (comprimento) de \mathbf{a} é
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
A relação que liga produto escalar ao ângulo \theta entre dois vetores é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta,
ou seja
\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}.
Nesta fórmula:
  • \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é um número (produto escalar);
  • \|\mathbf{a}\| e \|\mathbf{b}\| são magnitudes (sempre positivas);
  • \theta é o ângulo entre os vetores, tipicamente tomado em [0,\pi]. Para ângulo entre planos costuma-se usar o ângulo agudo (entre 0 e \tfrac{\pi}{2}), o que se obtém usando o valor absoluto de \cos\theta se necessário.

Passo 4

Cálculo do produto escalar \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2. Usando a definição:
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = 1\cdot2 + 2\cdot4 + (-3)\cdot(-6).
Agora as contas passo a passo:
1\cdot2 = 2,\qquad 2\cdot4 = 8,\qquad (-3)\cdot(-6)=18.
Somando:
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = 2+8+18 = 28.

Passo 5

Cálculo das normas \|\mathbf{n}_1\| e \|\mathbf{n}_2\|.
\|\mathbf{n}_1\| = \sqrt{1^2+2^2+(-3)^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}.
\|\mathbf{n}_2\| = \sqrt{2^2+4^2+(-6)^2} = \sqrt{4+16+36} = \sqrt{56}.
Note que \sqrt{56}=\sqrt{4\cdot14}=2\sqrt{14}. Essa observação já sugere que \mathbf{n}_2 é múltiplo de \mathbf{n}_1.

Passo 6

Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta = \dfrac{\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|} = \dfrac{28}{\sqrt{14}\cdot 2\sqrt{14}}.
Calcular o denominador:
\sqrt{14}\cdot 2\sqrt{14}=2\cdot(\sqrt{14}\sqrt{14})=2\cdot14=28.
Logo
\cos\theta = \dfrac{28}{28}=1.

Passo 7

Interpretação do resultado \cos\theta=1. Quando \cos\theta=1 temos \theta=0 (ângulo em radianos) ou \theta=0^\circ (em graus). Geometricamente, \cos\theta=1 indica que os vetores normais são paralelos e apontam na mesma direção; de fato observa-se que \mathbf{n}_2=2\mathbf{n}_1. Portanto os planos são paralelos (ou coincidentes se tivessem o mesmo termo independente), e o ângulo entre eles é 0.

Resposta

\theta=0^\circ (ou \theta=0 rad)

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