Considere o ângulo entre planos como o ângulo entre as suas retas normais. Ache os ângulos entre os planos:
e
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos e pede o ângulo entre esses planos. As equações fornecidas são:
O que se quer: o valor do ângulo entre esses dois planos.
Passo 2
Entender o que podemos extrair diretamente das equações. Para cada plano, os coeficientes de
,
e
formam um vetor normal ao plano. Vou listar esses vetores normais (peguei os coeficientes das equações dadas):
Observação importante (conceitual e muito usada em provas): o ângulo entre dois planos é definido como o ângulo entre seus vetores normais. Então basta achar o ângulo entre
e
.
Passo 3
Vou explicar a ferramenta principal que vamos usar: produto escalar (dot product) e a fórmula do ângulo entre vetores.
Definição do produto escalar para vetores em
: se
e
, então
A norma (comprimento) de
é
A relação que liga produto escalar ao ângulo
entre dois vetores é
ou seja
Nesta fórmula:
-
é um número (produto escalar); -
e são magnitudes (sempre positivas); -
é o ângulo entre os vetores, tipicamente tomado em . Para ângulo entre planos costuma-se usar o ângulo agudo (entre e ), o que se obtém usando o valor absoluto de se necessário.
Passo 4
Cálculo do produto escalar
. Usando a definição:
Agora as contas passo a passo:
Somando:
Passo 5
Cálculo das normas
e
.
Note que
. Essa observação já sugere que
é múltiplo de
.
Passo 6
Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo:
Calcular o denominador:
Logo
Passo 7
Interpretação do resultado
. Quando
temos
(ângulo em radianos) ou
(em graus). Geometricamente,
indica que os vetores normais são paralelos e apontam na mesma direção; de fato observa-se que
. Portanto os planos são paralelos (ou coincidentes se tivessem o mesmo termo independente), e o ângulo entre eles é
.